Русская Википедия:Каирская пятиугольная мозаика
| Каирская пятиугольная мозаика | |
|---|---|
| Файл:1-uniform 9 dual.svg | |
| Тип | Шаблон:Не переведено 5 |
| Грани | неправильные пятиугольники |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD |
| Симметрия | p4g, [4+,4], (4*2) p4, [4,4]+, (442) |
| Симметрия вращения |
p4, [4,4]+, (442) |
| Двойственная мозаика |
плосконосая квадратная мозаика |
| Конфигурация грани | V3.3.4.3.4 |
| Свойства | транзитивная по граням |
Каирская пятиугольная мозаика является двойственной полуправильной мозаикой на плоскости. Мозаика получила такое название по египетскому городу Каир, улицы которого вымощены такими плиткамиШаблон:SfnШаблон:Sfn. Мозаика является одной из 15 известных равногранных (то есть имеющих грани только одного вида) пятиугольных мозаик.
Мозаика также называется сетью МакмагонаШаблон:Sfn по имени Шаблон:Не переведено 5, опубликовавшего в 1921 году статью «New Mathematical Pastimes» (Новые математические развлечения)Шаблон:Sfn.
Конвей называет мозаику 4-fold pentille (4-кратный пятипаркет)Шаблон:Sfn.
Как 2-мерная кристаллическая решётка мозаика имеет те же специальные свойства, что и шестиугольная решётка. Обе решётки являются стандартной реализацией (в терминах М. Котани и Шаблон:Не переведено 5) для кристаллических решёток общего видаШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Геометрия
Грани мозаики не являются правильными пятиугольниками — их стороны не равны (они имеют четыре длинные и одну короткую стороны с отношением <math>1:\sqrt{3} - 1</math>[1]), а углы пятиугольника составляют (последовательно) <math>120^\circ, 120^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 90^\circ</math>. Мозаика имеет конфигурацию грани V3.3.4.3.4.
Мозаика похожа на Шаблон:Не переведено 5 с конфигурацией грани V3.3.3.4.4, но в этой мозаике два прямых угла находятся рядом.
Вариации
Каирская пятиугольная мозаика имеет два вида с пониженной симметрией, которые являются равногранными пятиугольными мозаиками типов 4 и 8:
| p4 (442) | pgg (22×) |
|---|---|
| Файл:P5-type4.png | Файл:P5-type8.png |
| Файл:Prototile p5-type4.png b=c, d=e B=D=90° |
Файл:Prototile p5-type8.png b=c=d=e 2B+C=D+2E=360° |
| Файл:Lattice p5-type4.png | Файл:Lattice p5-type8.png |
Двойственная мозаика
Мозаика является двойственной для плосконосой квадратной мозаики, состоящей из двух квадратов и трёх равносторонних треугольников вокруг каждой вершины[2].
Связь с шестиугольными мозаиками
Эту мозаику можно рассматривать как объединение двух перпендикулярных шестиугольных мозаик, растянутых в <math> \sqrt 3</math> раз. Каждый Шестиугольник делится на четыре пятиугольника. Шестиугольники можно сделать вогнутыми, что приведёт к вогнутым пятиугольникам[3]. Альтернативно, одну шестиугольную мозаику можно оставить правильной, а другую сжать и растянуть (в разных направлениях) в <math> \sqrt 3</math> раз, что приводит к образованию 2 видов пятиугольников.
| Файл:Cairo pentagonal tiling 2-colors.png | Файл:Cairo pentagonal tiling 2-colors-concave.png | Файл:Cairo tiling distorted regular hexagon.png |
Топологически эквивалентные мозаики
Как двойственная плосконосой квадратной мозаике данная мозаика имеет фиксированные пропорции. Однако её можно подстроить под другие геометрические формы с той же топологической связностью и другой симметрией. Например, эти мозаики топологически идентичны.
| Файл:Wallpaper group-p4g-1.jpg | Файл:Wallpaper group-p4g-with Cairo pentagonal tiling2.png | Файл:Wallpaper group-p4g-with Cairo pentagonal tiling.png |
| Шаблон:Не переведено 5 | Наложение на каирскую мозаику | |
|---|---|---|
Усечённая каирская пятиугольная мозаика
Усечение 4-валентных вершин создаёт мозаику, связанную с Шаблон:Не переведено 5, и ей может быть дан символ {4+,4}2,1. Пятиугольники усекаются до семиугольников. Двойственная мозаика к {4,4+}2,1 имеет только треугольные грани и связана с Шаблон:Не переведено 5. Её можно рассматривать как плосконосую квадратную мозаику, в которой квадраты заменены четырьмя треугольниками.
| Файл:Whirl square tiling.svg Усечённая каирская пятиугольная мозаика |
Файл:Dual whirl square tiling.svg Кис-плосконосая квадратная мозаика |
Связанные многогранники и мозаики
Каирская пятиугольная мозаика подобна Шаблон:Не переведено 5 с конфигурацией граней V3.3.3.4.4, двум 2-однородным двойственным мозаикам и двум 3-однородным двойственным, в которых смешаны два типа пятиугольников. Здесь они нарисованы с выделением цветом рёберШаблон:Sfn.
| Файл:33344 tiling face purple.png V3.3.3.4.4 |
Файл:33434 tiling face green.png V3.3.4.3.4 |
| Связанные пятиугольные мозаики | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Каирская пятиугольная мозаика | 2-однородные двойственные | ||||||
| p4g (4*2) | p2, (2222) | pgg (22×) | cmm (2*22) | ||||
| Файл:1-uniform 9 dual edgecolor.svg | Файл:1 uniform 9 dual color1.png | Файл:2-uniform 17 dual edgecolor.svg | Файл:2-uniform 17 dual color2.png | Файл:2-uniform 16 dual edgecolor.svg | Файл:2-uniform 16 dual color2.png | ||
| V3.3.4.3.4 | (V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4) | ||||||
| Призматическая пятиугольная мозаика | 3-однородные двойственные | ||||||
| cmm (2*22) | p2 (2222) | pgg (22×) | p2 (2222) | pgg (22×) | |||
| Файл:1-uniform 8 dual edgecolor.svg | Файл:1-uniform 8 dual color1.png | Файл:3-uniform 53 dual edgecolor.svg | Файл:3-uniform 53 dual color3.png | Файл:3-uniform 55 dual edgecolor.svg | Файл:3-uniform 55 dual color3.png | ||
| V3.3.3.4.4 | (V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4) | ||||||
Каирская пятиугольная мозаика находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.4.3.n. Шаблон:Таблица плосконосых мозаик-4
Она также находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.n.3.n. Шаблон:Таблица плосконосых мозаик-5
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
Литература для дальнейшего чтения
Ссылки
Шаблон:Геометрические мозаики Шаблон:Rq
