Русская Википедия:Калибровочная дифференциальная форма

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Калибровочная форма — дифференциальная форма на римановом многообразии. Инструмент в теории минимальных поверхностей позволяющий доказать минимальность площади.

Определение

Замкнутая <math>k</math>-форма <math>\phi</math> на римановом многообразии <math>(M,g)</math> назыетеся калибровочной если для любой ортонормированной системы из <math>k</math> векторов <math>e_1,\dots,e_k</math> выполняется неравенство

<math>\phi(e_1\wedge \dots \wedge e_k)\le 1.</math>

При этом если для <math>k</math>-мерного подмногообразие <math>L</math> в <math>(M,g)</math> достигается равенство

<math>\phi(e_1\wedge \dots \wedge e_k)= 1.</math>

для ортонормированного базиса в каждом касательном пространстве к <math>L</math>, то говорят, что <math>L</math> калибруется <math>\phi</math>.

Свойства

Если <math>k</math>-мерного подмногообразие <math>L</math> в <math>(M,g)</math> калибруется формой <math>\phi</math>, то <math>L</math> минимизирует площадь среди всех ему гомологичных подмногообразий. Действительно, предположим <math>L</math> гомологично <math>L'</math>, тогда

<math>\mathrm{vol}_k(L)=\int_L \varphi =\int_{L'} \varphi \le \mathrm{vol}_k(L').</math>

где первое равенство держится, потому что <math>L</math> калибруется <math>\phi</math>, второе равенство — по теореме теореме Стокса, а последнее неравенство справедливо, поскольку <math>\phi</math> — калибровочная форма.

Примеры

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Калибровочная_дифференциальная_форма&oldid=10063143