Русская Википедия:Каноническое преобразование
В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.
Определение
Преобразования
- <math>Q_i = Q_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),</math>
- <math>P_i = P_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),</math>
- <math>j = 1, \ldots, s,</math>, где <math>s</math> — число степеней свободы,
- <math>\frac{\partial(Q_1, \ldots, Q_s; P_1, \ldots, P_s)}{\partial(q_1, \ldots, q_s; q_1, \ldots, q_s)} \neq 0,</math>
называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона <math>H</math>:
- <math>\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i},</math>
- <math>\dot q_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i},</math>
в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона <math>\mathcal{H}</math>:
- <math>\dot P_i = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Q_i},</math>
- <math>\dot Q_i =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_i}.</math>
Переменные <math>Q_i</math> и <math>P_i</math> называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а <math>q_i</math> и <math>p_i</math> — старыми координатами и импульсами.
Производящие функции
Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана и теоремы Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:
- <math>\sum\limits_{i=1}^s P_i dQ_i - \mathcal{H}dt - c \left( \sum\limits_{i=1}^s p_i dq_i - H dt \right) = - dF,</math>
где постоянную <math>c \neq 0</math> называют валентностью канонического преобразования, <math>dF</math> — полный дифференциал некоторой функции <math>F(q_1,\ldots,q_s,p_1,\ldots, p_s,t)</math> (предполагается, что <math>P_i</math> и <math>Q_i</math> также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.
Канонические преобразования для которых <math>c = 1</math> называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные <math>c</math> изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.
Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных <math>p_i, q_i, Q_i, P_i</math>, причём выбор независим для каждого <math>i = 1, \cdots, s</math>. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого <math>i</math> одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции <math>F</math> имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты <math>F = F(q,p(q,Q,t),t) = F_1(q,Q,t)</math>. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции <math>F</math>. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех <math>i</math> возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:
- <math>F_1(q,Q,t), \; F_2(q,P,t), \; F_3(p,Q,t), \; F_4(p,P,t),</math>
где для простоты введены векторы старых координат и импульсов <math>q = (q_1,\cdots, q_2)</math> <math>p = (p_1,\cdots, p_2)</math>, , аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.
Производящая функция 1-го типа
Пусть <math>F_1(q,Q,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:
- <math>\det \left( \frac{\partial^2 F_1}{\partial q \, \partial Q}\right) \ne 0,</math>
кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_1, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу
- <math>p = \frac{1}{c} \frac{\partial F_1}{\partial q},</math>
- <math>P = - \frac{\partial F_1}{\partial Q},</math>
- <math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_1}{\partial t}.</math>
Связь с исходной производящей функцией:
- <math>F_1(q,Q,t) = F(q,p(q,Q,t),t).</math>
Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:
- <math>\det \left(\frac{\partial Q}{\partial p} \right) \neq 0.</math>
Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.
Производящая функция 2-го типа
Пусть <math>F_2(q,P,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:
- <math>\det \left(\frac{\partial^2 F_2}{\partial q \, \partial P}\right) \ne 0.</math>
кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_2, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу
- <math>p = \frac{1}{c} \frac{\partial F_2}{\partial q},</math>
- <math>Q = \frac{\partial F_2}{\partial P},</math>
- <math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_2}{\partial t}.</math>
Связь с исходной производящей функцией:
- <math>F_2(q,P,t) = F(q,p(q,P,t),t) + P Q(q,p(q,P,t),t).</math>
Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:
- <math>\det \left(\frac{\partial P}{\partial p} \right) \neq 0.</math>
Производящая функция 3-го типа
Пусть <math>F_3(p,Q,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени:
- <math>\det \left(\frac{\partial^2 F_3}{\partial p \, \partial Q}\right) \ne 0.</math>
кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_3, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу
- <math>q = - \frac{1}{c} \frac{\partial F_3}{\partial p},</math>
- <math>P = -\frac{\partial F_3}{\partial Q},</math>
- <math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_3}{\partial t}.</math>
Связь с исходной производящей функцией:
- <math>F_3(p,Q,t) = F(q(p,Q,t),p,t) - c p q(p,Q,t).</math>
Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:
- <math>\det \left(\frac{\partial Q}{\partial q} \right) \neq 0.</math>
Производящая функция 4-го типа
Пусть <math>F_4(p,P,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:
- <math>\det \left(\frac{\partial^2 F_4}{\partial p \, \partial P}\right) \ne 0.</math>
кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_4, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу
- <math>q = - \frac{1}{c} \frac{\partial F_4}{\partial p},</math>
- <math>Q = \frac{\partial F_4}{\partial P},</math>
- <math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_4}{\partial t}.</math>
Связь с исходной производящей функцией:
- <math>F_4(p,P,t) = F(q(p,P,t),p,t)+ P Q(q(p,P,t),p,t) - c p q(p,P,t).</math>
Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:
- <math>\det \left(\frac{\partial P}{\partial q} \right) \neq 0.</math>
Примеры
1. Тождественное преобразование
- <math>Q = q,</math>
- <math>P = p,</math>
- <math>\mathcal{H} = H </math>
может быть получено при:
- <math>F_2 = q P, \quad c=1.</math>
2. Если задать
- <math>F_1 = - \beta q Q, \quad c=-\alpha \beta,</math>
то полученное преобразование будет иметь вид:
- <math>Q = \alpha p,</math>
- <math>P = \beta q.</math>
- <math>\mathcal{H} = - \alpha \beta H </math>
Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.
3. Преобразование инверсии
- <math>Q = -q,</math>
- <math>P = -p,</math>
- <math>\mathcal{H} = H </math>
может быть получено при:
- <math>F_2 = -q P, \quad c=1.</math>
4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)
Они всегда могут быть заданы с помощью:
- <math>F_2 = \varphi(q,t) P, \quad c=1,</math>
тогда
- <math>Q = \varphi(q,t).</math>
В частности, если
- <math>F_2 = ( A q, P), \quad c=1,</math>
где <math>A,</math> — ортогональная матрица:
- <math>A^T A = E,</math>
то
- <math>Q = A q,</math>
- <math>P = A^T p.</math>
К точечным преобразования приводит и функция:
- <math>F_3 = \phi(Q,t) p, \quad c=1,</math>
тогда
- <math>q = -\phi(Q,t).</math>
В частности функция
- <math>F_3 = -p_x \rho \cos \varphi - p_y \rho \sin \phi - p_z z, \quad c=1,</math>
задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.
5. Линейные преобразования переменных <math>(p,q)</math> системы с одной степенью свободы:
- <math> Q = \alpha q + \beta p</math>
- <math> P = \gamma q + \delta p</math>
является унивалентным каноническим преобразованием при
- <math> \alpha \delta - \beta \gamma = 1,</math>
производящая функция:
- <math> F = -\beta \gamma p q - \frac{1}{2} \alpha \gamma q^2 - \frac{1}{2} \beta \delta p^2.</math>
Такие преобразования образуют специальную линейную группу <math>SL(2,\mathbb R)</math>.
Действие как производящая функция
Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки
- <math>\mathcal{S} = \int p dq - H dt</math>
задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.
Скобки Пуассона и Лагранжа
Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:
- <math>\lbrace P_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace =0,</math>
- <math>\lbrace Q_i (q,p,t), Q_k (q,p,t) \rbrace =0,</math>
- <math>\lbrace Q_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace = c \delta_{ik}.</math>
Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций <math>f(Q,P,t)</math> и <math>g(Q,P,t)</math> условия:
- <math>\lbrace f, g \rbrace_{p q} = c \lbrace f, g \rbrace_{P Q},</math>
где под <math>\lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{p q}</math> и <math>\lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{P Q}</math> понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.
В случае унивалентных канонических преобразований:
- <math>\lbrace f, g \rbrace_{p q} =\lbrace f, g \rbrace_{P Q}</math>
и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).
Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:
- <math>[ p_i, p_k] =0,</math>
- <math>[q_i, q_k ]=0,</math>
- <math>[q_i, p_k]= c \delta_{ik}.</math>
Литература
- Шаблон:Книга
Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ - Шаблон:Книга Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
- Шаблон:Книга.
- Шаблон:Книга.
