Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции <math>[0,1]\to [0,1]</math>, которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках (сингулярной функции). Иногда называется «Чёртовой лестницей» или «дьявольской лестницей».[1]
В точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1. Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части <math>\left(0,\frac{1}{3}\right)</math>, <math>\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)</math> и <math>\left(\frac{2}{3},1\right)</math>. На среднем сегменте полагаем <math>F(x) = \frac{1}{2}</math>. Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах <math>F(x)</math> полагается равной <math>\frac{1}{4}</math> и <math>\frac{3}{4}</math>. Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах <math>F(x)</math> определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями <math>F(x)</math>. На остальных точках единичного отрезка определяется по непрерывности.
Полученная функция называется канторовой лестницей.
По двоичной и троичной записи
Любое число <math>x\in[0,1]</math> можно представить в троичной системе счисления <math>x=(0{,}a_1a_2\dots)_3</math>, <math>a_i\in\{0,1,2\}</math>.
Если в записи <math>0{,}a_1a_2\dots</math> встречается 1, выбросим из неё все последующие цифры и в оставшейся последовательности заменим каждую двойку на 1.
Получившаяся последовательность <math>0{,}b_1b_2\dots</math> даёт запись значения канторовой лестницы в точке <math>x</math> в двоичной системе счисления.
