Русская Википедия:Капиллярное давление
Капиллярным давлением (<math>p_c</math> [Па]) (Шаблон:Lang-en) называют разность давлений, возникающую вследствие искривления поверхности жидкости. Такую поверхность имеют, например, капли в эмульсиях и туманах, капиллярные мениски.
В русскоязычной научной литературе вместо термина "капиллярное давление" могут использоваться понятия "лапласово давление" или "давление Лапласа".
Теория
Обозначим давление под искривлённой поверхностью жидкости — <math>p_r</math>, давление под плоской поверхностью — <math>p_0</math>.
Капиллярное давление определяется уравнением
<math>p_c = \pm (p_r - p_0)\ \bf (1) </math>,
при этом знак капиллярного давления зависит от знака кривизны.
Так, выпуклые поверхности имеют положительную кривизну: центр кривизны выпуклой поверхности находится внутри соответствующей фазы (в данном случае — внутри жидкости). Тогда согласно уравнению (1) капиллярное давление положительно, то есть давление под выпуклой поверхностью жидкости больше, чем давление под плоской поверхностью. Пример дисперсной частицы с выпуклой поверхностью — капля жидкости в аэрозоле или эмульсии. Выпуклую поверхность имеет мениск несмачивающей жидкости в капилляре.
Вогнутые поверхности, наоборот, имеют отрицательную кривизну, поэтому капиллярное давление отрицательно (этому случаю отвечает знак <math>- </math> в уравнении (1)). Давление жидкости под вогнутой поверхностью меньше, чем под плоской. Пример вогнутой поверхности — мениск смачивающей жидкости в капилляре.
В качестве следствия также можно заметить, что избыточное давление Лапласа (точнее, сила, создающаяся под влиянием давления Лапласа) всегда сонаправлена радиус-вектору кривизны рассматриваемой поверхности <math>\bf r </math>.
Закон Лапласа
Капиллярное давление зависит от коэффициента поверхностного натяжения <math>\sigma </math> и кривизны поверхности. Эту связь описывает закон Лапласа (1805). Для вывода уравнения капиллярного давления найдём условие, при котором газовый пузырёк объёмом <math>V </math> внутри жидкости сохраняется неизменным, то есть не расширяется и не сжимается. Равновесной форме соответствует минимальное значение энергии Гиббса. При увеличении радиуса пузырька на малую величину <math>dr </math> изменение энергии Гиббса <math>dG </math> будет равно
<math>dG = \underbrace{p_cdV}_{A_{p=const}} + \underbrace{\sigma d\Omega}_{A_{S\uparrow}}\ \bigg |_{\Omega=4\pi r^2}\ \bf (2)</math>
где <math>\Omega</math> - поверхность сферического пузырька радиусом r.
При термодинамическом равновесии фаз должно выполняться условие минимума энергии Гиббса (<math>\Delta G=0</math>); отсюда получаем
<math>4\pi r^2p_c+8\pi r\sigma=0</math>
В итоге находим связь между капиллярным давлением и радиусом кривизны r для вогнутой сферической поверхности:
<math>p_c=-\frac{2\sigma}{r}\ \bf (3)</math>
Отрицательный знак капиллярного давления показывает, что внутри газового пузырька давление больше, чем давление в окружающей его жидкости. Именно по этой причине пузырёк не «схлопывается» под давлением окружающей его жидкости.
Для выпуклой же сферической поверхности получим
<math>p_c=\frac{2\sigma}{r}\ \bf (4)</math>
Заметим, что положительное капиллярное давление сжимает каплю[1].
Уравнения (3) и (4) представляют закон капиллярного давления Лапласа для сферической поверхности. Для поверхности произвольной формы закон Лапласа имеет вид
<math>p_c=\pm\sigma \bigg ( \frac 1 {r_1} + \frac 1 {r_2} \bigg )\ \bf (5),</math>
где <math>r_1,r_2</math> — главные радиусы кривизны.
Для цилиндрической поверхности радиусом <math>r_1</math> второй главный радиус кривизны <math>r_2\rightarrow\infty</math>, поэтому
<math>p_{c\ \text{cylinder}}=\pm\frac\sigma {r_1}</math>
то есть в 2 раза меньше, чем для сферической поверхности радиусом r.
Величина
<math>H=\frac 1 2 \bigg ( \frac 1 {r_1} + \frac 1 {r_2} \bigg )</math>
определяет среднюю кривизну поверхности. Таким образом, уравнение Лапласа (5) связывает капиллярное давление со средней кривизной поверхности жидкости
<math>p_c=\pm 2\sigma H\ \bf (6)</math>
Ограничения для закона Лапласа и его применение
Закон Лапласа имеет определённые ограничения. Он выполняется достаточно точно, если радиус кривизны поверхности жидкости <math>r>>b</math> (<math>b</math> — молекулярный размер). Для нанообъектов это условие не выполняется, так как радиус кривизны соизмерим с молекулярными размерами.
Закон капиллярного давления имеет большое научное значение. Он устанавливает фундаментальное положение о зависимости физического свойства (давления) от геометрии, а именно от кривизны поверхности жидкости. Теория Лапласа оказала значительное влияние на развитие физикохимии капиллярных явлений, а также на некоторые другие дисциплины. Например, математическое описание искривлённых поверхностей (основы дифференциальной геометрии) было выполнено К. Гауссом именно в связи с капиллярными явлениями.
Закон Лапласа имеет много практических приложений в химической технологии, фильтрации, течении двухфазных потоков и т.д. Уравнение капиллярного давления используют во многих методах измерения поверхностного натяжения жидкостей. Закон Лапласа часто называют первым законом капиллярности.
Литература
