Русская Википедия:Касательная прямая
Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Строгое определение
- Пусть функция <math>f\colon U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> определена в некоторой окрестности точки <math>x_0\in \mathbb{R}</math>, и дифференцируема в ней: <math>f \in \mathcal{D}(x_0)</math>. Касательной прямой к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется график линейной функции, задаваемый уравнением
- <math>y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb{R}</math>.
- Если функция <math>f</math> имеет в точке <math>x_0</math> бесконечную производную <math>f'(x_0) = \pm \infty,</math> то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением
- <math>x = x_0.</math>
Замечание
Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку <math>(x_0,f(x_0))</math>. Угол <math>\alpha</math> между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению
- <math>\operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0)= k,</math>
где <math>\operatorname{tg}</math> обозначает тангенс, а <math>\operatorname {k} </math> — коэффициент наклона касательной. Производная в точке <math>x_0</math> равна угловому коэффициенту касательной к графику функции <math>y = f(x)</math> в этой точке.
Касательная как предельное положение секущей
Пусть <math>f\colon U(x_0) \to \R</math> и <math>x_1 \in U(x_0).</math> Тогда прямая линия, проходящая через точки <math>(x_0,f(x_0))</math> и <math>(x_1,f(x_1))</math> задаётся уравнением
- <math>y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0).</math>
Эта прямая проходит через точку <math>(x_0,f(x_0))</math> для любого <math>x_1\in U(x_0),</math> и её угол наклона <math>\alpha(x_1)</math> удовлетворяет уравнению
- <math>\operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.</math>
В силу существования производной функции <math>f</math> в точке <math>x_0,</math> переходя к пределу при <math>x_1 \to x_0,</math> получаем, что существует предел
- <math>\lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = f'(x_0),</math>
а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол
- <math>\alpha = \operatorname{arctg}\,f'(x_0).</math>
Прямая, проходящая через точку <math>(x_0,f(x_0))</math> и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий <math>\operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0),</math> задаётся уравнением касательной:
- <math>y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).</math>
Касательная к окружности
Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.
Свойства
- Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
- Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
- Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от Шаблон:Lang-la — «касательная».
Вариации и обобщения
Односторонние полукасательные
- Если существует правая производная <math>f'_+(x_0) < \infty,</math> то пра́вой полукаса́тельной к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется луч
- <math>y = f(x_0) + f'_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.</math>
- Если существует левая производная <math>f'_-(x_0) < \infty,</math> то ле́вой полукаса́тельной к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется луч
- <math>y = f(x_0) + f'_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.</math>
- Если существует бесконечная правая производная <math>f'_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),</math> то правой полукасательной к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется луч
- <math>x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y \leqslant f(x_0)).</math>
- Если существует бесконечная левая производная <math>f'_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),</math> то левой полукасательной к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется луч
- <math>x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y \geqslant f(x_0)).</math>
См. также
Литература
