Русская Википедия:Касательное пространство
Касательное пространство к гладкому многообразию <math>M</math> в точке <math>x</math> — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к <math>M</math> в точке <math>x</math> обычно обозначается <math>T_xM</math> или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто <math>T_x</math>.
Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.
Касательное пространство в точке <math>p</math> к подмногообразию определяется аналогично.
В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.
Определения
Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентности гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.
Как класс эквивалентности гладких кривых
Пусть <math>M</math> — гладкое многообразие и <math>p \in M</math>. Рассмотрим класс <math>\Gamma_p</math> гладких кривых <math>\gamma\colon\mathbb I\to M</math> таких, что <math>\gamma(0)=p</math>. Введём на <math>\Gamma_p</math> отношение эквивалентности: <math>\gamma_1\sim\gamma_2</math> если
- <math>|\gamma_1(t)-\gamma_2(t)|=o(t), t\to 0</math>
в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей <math>p</math>.
Элементы касательного пространства <math>T_p</math> определяются как <math>\sim</math>-классы эквивалентности <math>\Gamma_p</math>; то есть
- <math>T_p=\Gamma_p/\sim</math>.
В карте такой, что <math>p</math> соответствует началу координат, кривые из <math>\Gamma_p</math> можно складывать и умножать на число следующим образом
- <math>(\gamma_1+\gamma_2)(t)=\gamma_1(t)+\gamma_2(t)</math>
- <math>(k\cdot\gamma)(t)=\gamma(k\cdot t)</math>
При этом результат остаётся в <math>\Gamma_p</math>.
Эти операции продолжаются до классов эквивалентности <math>T_p=\Gamma_p/\sim</math>. Более того, индуцированные на <math>T_p</math> операции уже не зависят от выбора карты. Так на <math>T_p</math> определяется структура векторного пространства.
Через дифференцирование в точке
Пусть <math>M</math> — <math>C^\infty</math>-гладкое многообразие. Тогда касательным пространством к многообразию <math>M</math> в точке <math>p \in M</math> называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов <math>X,</math> сопоставляющих каждой гладкой функции <math>f:M\to \R</math> число <math>Xf,</math> и удовлетворяющих следующим двум условиям:
- <math>\mathbb R</math>-линейность: <math>X(\lambda f+\mu h)=\lambda Xf+\mu Xh,\; \lambda,\mu\in \mathbb R, f,h\in C^\infty(M)</math>
- правило Лейбница: <math>X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot(Xh),\; f,h\in C^\infty(M).</math>
На множестве всех дифференцирований в точке <math>p</math> возникает естественная структура линейного пространства:
- <math>(X+Y)f=Xf+Yf;</math>
- <math>(k\cdot X)f=k\cdot(Xf).</math>
Замечания
- В случае <math>C^k</math>-гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство
- <math>Xf=0</math> если <math>f(q)=o(|p-q|)</math>
- в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей <math>p</math>.
- В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.
- Пусть <math>\gamma\in\Gamma_p</math>. Тогда правило Лейбница и условие линейности оператора выполняются для <math>Xf=(f\circ \gamma)'(0)</math>. Это позволяет идентифицировать касательные пространства, получаемые в первом и во втором определениях.
Свойства
- Касательное пространство <math>n</math>-мерного гладкого многообразия является <math>n</math>-мерным векторным пространством
- Для выбранной локальной карты <math>x_1,\dots, x_n</math>, операторы <math>X_i</math> дифференцирования по <math>x_i</math>:
- <math>X_if=\frac {\partial f}{\partial x_i}(p)</math>
- представляют собой базис <math>T_p</math>, называемый голономным базисом.
Связанные определения
- Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.
Вариации и обобщения
Алгебраическое касательное пространство
Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для <math>C^k</math>-дифференцируемых многообразий, <math>k < \infty</math>). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).
Пусть <math>M</math> — <math>C^k</math>-дифференцируемое многообразие, <math>C^k(M)</math> — кольцо дифференцируемых функций из <math>M</math> в <math>\mathbb{R}</math>. Рассмотрим кольцо <math>C^k_x</math> ростков функций в точке <math>x \in M</math> и каноническую проекцию <math>[-]_x: C^k(M) \to C^k_x</math>. Обозначим через <math>\mathfrak{m}_x</math> ядро гомоморфизма колец <math>[f]_x \mapsto f(x)</math>. Введем на <math>C^k_x</math> структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма <math>i: \mathbb{R} \to C^k_x</math>, <math>i(a) = [\mathrm{const}_a]_x</math> и будем далее отождествлять <math>\mathbb{R}</math> и <math>i(\mathbb{R})</math>. Имеет место равенство <math>C^k_x = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x</math>[1]. Обозначим через <math>C^k_{x,0}</math> подалгебру <math>C^k_x</math>, состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке <math>x</math> в каждой карте; обозначим <math>C^k_{x,d} = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x^2</math>. Заметим, что <math>C^k_{x,d} \subset C^k_{x,0}</math>.
Рассмотрим два векторных пространства:
- <math>T_x M := (C^k_x / C^k_{x,0})^*</math> — это пространство имеет размерность <math>\operatorname{dim}M</math> и совпадает с определённым ранее касательным пространством к <math>M</math> в точке <math>x</math>,
- <math>(C^k_x / C^k_{x,d})^* \cong (\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^*</math> — это пространство изоморфно пространству дифференцирований <math>C^k_x = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x</math> со значениями в <math>\mathbb{R} \subset C^k_x</math>, его называют алгебраическим касательным пространством[2] <math>M</math> в точке <math>x</math>.
Если <math>k < \infty</math>, то <math>\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2</math> имеет размерность континуум, а <math>(\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2)^*</math> содержит <math>T_x M</math> как нетривиальное подпространство; в случае <math>k = \infty</math> или <math>k = \omega</math> эти пространства совпадают (и <math>C^k_{x,0} = C^k_{x,d}</math>)[3]. В обоих случаях <math>T_x M</math> можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований <math>C^k_x</math> со значениями в <math>\mathbb{R}</math>, для вектора <math>X \in T_x M</math> формула <math>X(f) = X([f]_x)</math> задаёт инъективный гомоморфизм <math>T_x M</math> в пространство дифференцирований <math>C^k(M)</math> со значениями в <math>\mathbb{R}</math> (структура вещественной алгебры на <math>C^k(M)</math> задается аналогично <math>C^k_x</math>). При этом в случае <math>k = \infty</math> получается в точности определение, данное выше.
См. также
Примечания
