Русская Википедия:Касательное пространство Зарисского
Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.
Мотивировка
Рассмотрим плоскую алгебраическую кривую, заданную полиномиальным уравнением
- <math>F(x,y)=0.</math>
Опишем касательное пространство к этой кривой в начале координат. Выбросим из уравнения все члены порядка больше первого, останется уравнение
- <math>ax+by=0.</math>
Возможны два случая: либо <math>a=b=0</math>, в этом случае касательное пространство определяется как вся аффинная плоскость (все её точки удовлетворяют уравнению выше), в этом случае начало координат является особой точкой кривой. В противном случае, касательное пространство — это прямая, рассматриваемая как одномерное аффинное пространство. (Более точно, в исходной аффинной плоскости нет никакого начала координат. Однако при определении касательного пространства в точке p естественно выбрать начало координат в этой точке.)
Определение
Кокасательное пространство локального кольца <math>R</math> с максимальным идеалом m определяется как
- <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math>
где m2 — произведение идеалов. Кокасательное пространство является векторным пространством над полем вычетов <math>k=R/\mathfrak m</math>. Векторное пространство, двойственное к нему, называется касательным пространством RШаблон:Sfn.
Это определение обобщает данный выше пример на более высокие размерности. Грубо говоря, <math>R</math> — это кольцо ростков функций в точке p. Это кольцо локально, его максимальный идеал — ростки функций, равных нулю в p (максимальный идеал локального кольца состоит в точности из необратимых элементов). Так как точка p принадлежит многообразию, нас интересуют только элементы m, факторизация по m2 соответствует выбрасыванию членов больших степеней. Поскольку мы начинали с кольца функций, <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math> соответствует «линейным функционалам» на касательном пространстве, то есть пространству, двойственному к касательному.
Касательное пространство <math>T_P(X)</math> и кокасательное пространство <math>T_P^*(X)</math> к схеме X в точке P — это (ко)касательное пространство локального кольца <math>\mathcal{O}_{X,P}</math>. Благодаря функториальности Spec, естественное отображение факторизации <math>f:R\rightarrow R/I</math> индуцирует гомоморфизм <math>g:\mathcal{O}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow \mathcal{O}_{Y,P}</math>, где X=Spec(R), P — точка Y=Spec(R/I). Этот гомоморфизм часто используют для вложения <math>T_P(Y)</math> в <math>T_{f^{-1}P}(X)</math>[1] (например, касательное пространство многообразия, вложенного в аффинное пространство, естественным образом вложено в касательное пространство аффинного пространства). Так как морфизмы полей инъективны, сюръекция полей вычетов, индуцированная g, является изоморфизмом. Таким образом, g индуцирует морфизм k касательных пространств, поскольку
- <math>\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2</math>
- <math>\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/I)/((\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)/I)</math>
- <math>\cong \mathfrak{m}_{f^{-1}P}/(\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)</math>
- <math>\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2)/\mathrm{Ker}(k).</math>
Так как k сюръективен (является гомоморфизмом факторизации), то двойственное линейное отображение <math>k^*:T_P(Y) \rarr T_{f^{-1}P}(X)</math> инъективно (является вложением).
Аналитический случай
Если V — подмногообразие n-мерного векторного пространства, определённое идеалом I (идеалом функций, равных нулю на этом многообразии), кольцу R соответствует кольцо Fn/I, где Fn — кольцо ростков гладких/аналитических/голоморфных функций на векторном пространстве, I — ростки функций из идеала. Тогда касательное пространство Зарисского в точке x — это
- <math>\mathfrak m_x/(I+\mathfrak m_x^2),</math>
где <math>\mathfrak m_x</math> — идеал функций соответствующего типа, равных нулю в точке x.
В примере с алгебраической кривой, <math>I=(f)</math>, а <math>(I+\mathfrak m_x^2)=(ax+by+\mathfrak m_x^2).</math>
Свойства
Если R — нётерово локальное кольцо, размерность касательного пространства не меньше размерности R:
- <math>\mathrm{dim}\; \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \geqslant \mathrm{dim}\; R.</math>
R называется регулярным кольцом, если выполняется равенство. Если локальное кольцо многообразия V в точке x регулярно, говорят, что x — регулярная точка многообразия. В противном случае x называется особой точкой.
Существует интерпретация касательного пространства при помощи гомоморфизмов в кольцо дуальных чисел <math>k[t]/(t^2).</math> На языке схем, морфизмы из Spec k[t]/t2 в схему X над k соответствует выбору рациональной точки x ∈ X(k) (точки с координатами из поля k) и элемента касательного пространства в точке xШаблон:Sfn. Таким образом, эти морфизмы имеет смысл называть касательными векторами.
Примечания
Литература
Ссылки
- Zariski tangent space. V.I. Danilov, Encyclopedia of Mathematics.
- ↑ Smoothness and the Zariski Tangent Space, James McKernan, 18.726 Spring 2011 Шаблон:Wayback Lecture 5
