Русская Википедия:Касательный вектор
Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.
Касательный вектор к кривой
- Пусть функция <math>f\colon U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> определена в некоторой окрестности точки <math>x_0\in \mathbb{R}</math> и дифференцируема в ней: <math>f \in \mathcal{D}(x_0)</math>.
Касательным вектором к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется вектор с компонентами
- <math>\vec e = \frac{1}{\sqrt{1+f'(x_0)^2}} \cdot \vec e_x + \frac{f'(x_0)}{\sqrt{1+f'(x_0)^2}} \cdot \vec e_y</math>.
- Если функция <math>f</math> имеет в точке <math>x_0</math> бесконечную производную <math>f'(x_0) = \pm \infty,</math> то касательный вектор
- <math>\vec e = \vec e_y</math>.
Общее определение
Касательным вектором к гладкому многообразию <math>M</math> в точке <math>p \in M</math> называется оператор <math>X</math>, сопоставляющий каждой гладкой функции <math>f\colon M\to \R</math> число <math>X f</math> и обладающий следующими свойствами:
- аддитивность: <math>X(f+h)=Xf+Xh,</math>
- правило Лейбница: <math>X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot(Xh).</math>
Множество всех таких операторов в точке <math>p</math> имеет естественную структуру линейного пространства, именно:
- <math>(X+Y)f=Xf+Yf;</math>
- <math>(k\cdot X)f=k\cdot(Xf), \ \forall k \in \R</math>.
Совокупность всех касательных векторов в точке <math>p</math> образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке <math>p</math>. Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.
Касательный вектор как класс эквивалентности путей
Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rn. Пусть в Rn задан гладкий путь <math>\mathbf{f}\colon[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n</math>:
- <math>\mathbf{f}(t) = f_1(t)\mathbf{e}_1 + f_2(t)\mathbf{e}_2 + \dots + f_n(t)\mathbf{e}_n</math>.
Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь <math>\mathbf{l}(t)</math>, который его касается в момент времени t0:
- <math>\mathbf{l}(t) = \mathbf{f}(t_0) + (t-t_0)\left({\partial f_1 \over \partial t}(t_0) \mathbf{e}_1 + {\partial f_2 \over \partial t}(t_0)\mathbf{e}_2 + \dots + {\partial f_n \over \partial t}(t_0)\mathbf{e}_n\right)</math>.
Касание двух путей <math>\mathbf{f}_1(t)</math> и <math>\mathbf{f}_2(t)</math> означает, что <math>\mathbf{f}_1(t)-\mathbf{f}_2(t)=o(t-t_0)</math>; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x0 можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x0 в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.
Касательный вектор к подмногообразию
Касательный вектор в точке <math>p</math> гладкого подмногообразия <math>M</math> евклидова пространства — вектор скорости в точке <math>p</math> некоторой кривой в <math>M</math>.
Иначе говоря, касательный вектор в точке <math>p</math> подмногообразия, локально заданного параметрически
- <math>r\colon\R^m\to \R^n</math> с <math>p=r(0)\ </math>,
есть произвольная линейная комбинация частных производных <math>\frac{\partial r}{\partial x_i}(0)</math>.
Замечания
- Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости <math>C^1</math>.
- Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в <math>\R^{2n}</math>. Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.
Литература
