Русская Википедия:Катальди, Пьетро Антонио

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Однофамильцы Шаблон:Учёный Пье́тро Анто́нио Ката́льди (Шаблон:Lang-it; Шаблон:ДатаРождения—1626)Шаблон:Sfn — итальянский Шаблон:Математик, автор более 30 трудов по математике. Впервые ввёл в математику понятие о непрерывных дробях (1613). Открыл шестое и седьмое совершенные числа (1588 год). Почётный гражданин города БолоньяШаблон:Sfn.

Биография

Пьетро Катальди родился и получил образование в Болонье, затем с 1569 по 1570 год преподавал во Флоренции. В 1572 году отправился в Перуджу, где на протяжении 12 лет преподавал математику. Он одним из первых преподавал математику как самостоятельную дисциплину, причём читал лекции, вопреки традиции, не на латыни, а на итальянском языке (большинство его работ также написаны на итальянском языке). Одновременно с преподаванием математики Катальди читал лекции в Академии художеств Перуджи. По отзывам современников, Катальди славился как первоклассный поэт, фехтовальщик и наездникШаблон:Sfn.

В 1584 году Катальди вернулся в родную Болонью, где получил докторскую степень по философии и медицине. В Болонье он в качестве профессора преподавал математику и астрономию почти сорок лет, до конца жизни, читал лекции по античным классикам (Евклид, Клавдий Птолемей)Шаблон:Sfn.

Тем временем Катальди получил важные новые результаты, касающиеся совершенных чисел. Но в 1594 году у него украли рукопись, и ему пришлось воссоздать работу с нуля (опубликована в Болонье в 1603 году. под названием «Трактат о совершенных числах»)Шаблон:Sfn.

Катальди умер в Болонье 11 февраля. 1626 года. Наследников он не оставил. Согласно завещанию, в его доме была открыта школа-интернат для бедных учеников, которой он оставил всё своё имуществоШаблон:Sfn.

Научная деятельность

В своём «Трактате о кратчайшем способе нахождения квадратного корня из чисел» (Шаблон:Lang-it, Болонья, 1613) Катальди первым в мире ввёл понятие непрерывных дробей (сам термин появился позже) и дал для них обозначение, напоминающее современноеШаблон:Sfn.

Катальди описал алгоритм извлечения квадратных корней из натуральных чисел с помощью непрерывных дробей, аналогичный ранее опубликованному (1572 год) Рафаэлем Бомбелли, который непрерывные дроби не использовал. Чтобы найти значение <math> \sqrt{n} </math>, сначала определяется его целое приближение: <math> \sqrt{n} = a \pm r </math>, где <math> 0<r<1\ </math>. Тогда <math> n=(a \pm r)^2=a^2\pm 2ar+r^2\ </math>. Отсюда несложно вывести, что <math> r=\frac{|n-a^2|}{2a\pm r}</math>. Повторно подставляя полученное выражение в формулу <math> \sqrt{n} = a \pm r </math>, мы получаем разложение в непрерывную дробь[1]:

<math>a\pm \frac{|n-a^2|}{2a\pm \frac{|n-a^2|}{2a\pm \frac{|n-a^2|}{2a\pm \cdots }}}</math>

Пример. Для <math>\sqrt{13}, a=3 </math> мы получаем последовательные приближения (подходящие дроби):

<math> 3\frac{2}{3},\ 3\frac{3}{5},\ 3\frac{20}{33},\ 3\frac{66}{109},\ 3\frac{109}{180},\ 3\frac{720}{1189},\ \cdots</math>

Две последние дроби равна <math>3{,}60555555\dots</math> и <math>3{,}60555088\dots</math> соответственно. Катальди отметил основное свойство непрерывных дробей: исходное число всегда находится между соседними подходящими дробямиШаблон:Sfn, что позволяет легко оценить погрешность вычисленного значения корня. Поэтому, сравнивая последнюю дробь с предпоследней, можно заключить, что пять цифр после запятой верны. В самом деле, точное значение: <math>\sqrt{13} = 3.60555127\dots</math>[1]. Позднее теорию непрерывных дробей расширили Джон Валлис, Христиан Гюйгенс, Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж[2].

Катальди также внёс большой вклад в теорию совершенных чисел. Уже Евклид знал, что если <math>2^n - 1</math> — простое число, то <math>2^{n-1} (2^n-1)</math> — совершенное число. Это правило при <math>n = 2, 3, 5, 7</math> даёт совершенные числа <math>6, 28, 496, 8128</math> соответственно. Другие совершенные числа древнегреческим математикам были неизвестны. Следующее совершенное число опубликовал голландский математик Худалрик Perиус (Шаблон:Lang-la) в трактате «Utriusque Arithmetices» (1536 год)[3], который показал, что <math>2^{13}- 1</math> является простым числом, что даёт в качестве следующего совершенного числа Шаблон:NumШаблон:Sfn.

В 1603 году Катальди опубликовал «Трактат о совершенных числах» (Шаблон:Lang-it), где показалШаблон:Sfn:

  • если <math>n</math> составное, то и <math>2^n - 1</math> также составное;
  • <math>2^n - 1</math> при <math>n=17</math> и при <math>n=19</math> — простые числа (доказывал простым перебором возможных простых делителей).

Фактически Катальди вычислил список всех простых чисел до 750 и разложения всех чисел до 800. Он опубликовал эти списки отдельно. Тем самым Катальди нашёл шестое и седьмое совершенные числа: Шаблон:Num и Шаблон:NumШаблон:Sfn. Заодно он опроверг гипотезу Никомаха, согласно которой в последних цифрах членов последовательности совершенных чисел чередуются цифры 6 и 8[4].

Он также предположил, что для <math>n = 23, 29, 31, 37</math> также получатся совершенные числа, но эта гипотеза не оправдалась — все эти числа, за исключением получающегося при <math>n = 31,</math> оказались составными. Первым это обнаружил Пьер Ферма в 1640 году, случай <math>n = 31</math> исследовал Леонард Эйлер в 1738 году[4]Шаблон:Sfn.

Кроме трактата о совершенных числах, в том же 1603 году Катальди опубликовал комментированное издание «Начал» Евклида и ещё один небольшой труд, в котором попытался доказать «Пятый постулат» Евклида. При этом он опирался на утверждение: «Эквидистанта для прямой является прямой», которое на самом деле равносильно пятому постулатуШаблон:Sfn.

Основные труды

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:ВС Шаблон:Добротная статья

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Cite web
  2. ↑ Шаблон:Книга
  3. ↑ Шаблон:Книга
  4. ↑ 4,0 4,1 Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Катальди,_Пьетро_Антонио&oldid=10098976