Русская Википедия:Категория Люстерника — Шнирельмана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Категория Люстерника — Шнирельмана — характеристика топологического пространства <math>X</math> — минимальное число <math>\operatorname{cat}X</math> таких замкнутых множеств, которыми можно покрыть <math>X</math> и каждое из которых может быть стянуто в точку посредством непрерывной деформации в <math>X</math>. Категория имеет важное значение для вариационного исчисления, так как она оценивает снизу число стационарных (критических) точек гладкой функции на замкнутом многообразии.

Свойства

• Категория Люстерника—Шнирельмана является гомотопическим инвариантом.
• <math>\operatorname{cat}\,\R \mathrm P^n=n+1</math>, где <math>\R \mathrm P^n</math> обозначает <math>n</math>-мерное вещественное проективное пространство.
• <math>\operatorname{cat}X>\operatorname{long} X,</math> где когомологическая длина <math>\operatorname{long}X</math> определяется как наибольшее число классов когомологий положительной размерности, произведение которых отлично от нуля.

История

Категория была введена Люстерником в 1931 при решении ряда задач, в том числе задачи о трёх замкнутых геодезических на поверхностях, гомеоморфных двумерной сфере. Он же впервые вычислил её для вещественного проективного пространства. Позже, совместно со Шнирельманом, категория была использована для доказательства гипотезы Пуанкаре о существовании трёх замкнутых геодезических на выпуклых телах.

См. также

• Род Шварца