Русская Википедия:Категория запятой
Категория запятой — специальная теоретико-категорная конструкция, позволяющая изучать морфизмы не как соотнесения объектов категории друг с другом, а как самостоятельные объекты. Строится как особая категория для произвольной пары функторов в общую категорию, описана Ловером как обобщение категорий объектов и морфизмовШаблон:Переход. Название «категория запятой» появилось из-за первоначального обозначения Ловера; впоследствии стандартное обозначение изменилось из соображений удобства, но название для конструкции сохранилось.
Общее определение
Категорию запятой <math>S \downarrow T</math> (обозначение Ловера — <math>(S,T)</math>) для функторов <math>S \colon \mathcal A \longrightarrow \mathcal C</math> и <math>T \colon \mathcal B \longrightarrow \mathcal C </math> можно построить следующим образом:
- объекты — все тройки вида <math>(\alpha, \beta, f)</math>, где <math>\alpha</math> — объект <math>\mathcal{A}</math>, <math>\beta</math> — объект <math>\mathcal{B}</math>, и <math>f \colon S(\alpha)\rightarrow T(\beta)</math> — морфизм в <math>\mathcal{C}</math>,
- морфизмы из <math>(\alpha, \beta, f)</math> в <math>(\alpha', \beta', f')</math> — все пары <math>(g, h)</math>, где <math>g : \alpha \rightarrow \alpha'</math>, <math>h : \beta \rightarrow \beta'</math> — морфизмы в <math>\mathcal A</math> и <math>\mathcal B</math> соответственно, такие что следующая диаграмма коммутирует:
- <math>\begin{matrix} S(\alpha) & \xrightarrow{S(g)} & S(\alpha')\\ f \Bigg\downarrow & & \Bigg\downarrow f'\\ T(\beta) & \xrightarrow[T(h)]{} & T(\beta') \end{matrix}</math>
Композиция морфизмов <math>(g, h) \circ (g', h')</math> берётся как <math>(g \circ g', h \circ h')</math>, если последнее выражение определено. Тождественный морфизм объекта <math>(\alpha, \beta, f)</math> — это <math>(\mathrm{id}_{\alpha}, \mathrm{id}_{\beta})</math>.
Категории объектов и морфизмов
Категория объектов над заданным объектом <math>A \in \mathrm{Ob}\, \mathcal C</math> — категория запятой <math>\mathrm{Id}_\mathcal C \downarrow 1_A</math>, где <math>\mathrm{Id}_\mathcal C \colon \mathcal C \longrightarrow \mathcal C</math> — тождественный функтор, а <math>1_A \colon \textbf{1} \longrightarrow \mathcal C</math> — функтор из категории с одним объектом <math>*</math> и одним морфизмом, заданный как <math>1(*) = A</math>. В этом случае используют обозначение <math>\mathcal{C} \downarrow A</math>. Объекты вида <math>(\alpha, *, f)</math> — это просто пары <math>(\alpha, f)</math>, где <math>f \colon \alpha \rightarrow A</math>. Иногда в этой ситуации <math>f</math> обозначают как <math>\pi_\alpha</math>. Морфизм из <math>(B, \pi_B)</math> в <math>(B', \pi_{B'})</math> — это морфизм <math>g \colon B \rightarrow B'</math>, замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:
Двойственный случай — категория объектов под <math>A</math> — <math>1_A \downarrow \mathbf{Id}_\mathcal C</math>. В этом случае используют обозначение <math>A\downarrow \mathcal{C}</math>. Объекты — пары <math>(B, i_B)</math>, где <math>i_B : A \rightarrow B</math>. Морфизм между <math>(B, i_B)</math> и <math>(B', i_{B'})</math> — отображение <math>h : B \rightarrow B'</math>, замыкающее следующую диаграмму до коммутативной:
Ещё один частный случай — категория морфизмов — категория запятой <math>\mathrm{Id}_\mathcal C \downarrow \mathrm{Id}_\mathcal C</math>, её объекты — морфизмы <math>\mathcal{C}</math>, а морфизмы — коммутативные квадраты в <math>\mathcal{C}</math>[1].
Примеры
Категория множеств с отмеченной точкой — это категория запятой <math>\bull \downarrow \mathrm{Id}_\mathbf{Set}</math>, где <math>\bull</math> — функтор, выбирающий некоторый синглетон и <math>\mathbf{Id}_\mathbf{Set}</math> — тождественный функтор для категории множеств. Сходным образом можно образовать категорию топологических пространств с отмеченной точкой <math>\bull \downarrow \mathrm{Id}_\mathbf{Top}</math>.
Категория графов — это категория запятой <math> \mathrm{Id}_\mathbf{Set} \downarrow D</math>, где <math>D \colon \mathbf{Set} \longrightarrow \mathbf{Set}</math> — функтор, отправляющий <math>s</math> в <math>s \times s</math>. Объекты вида <math>(a, b, f)</math> состоят из двух множеств и функции; <math>a</math> — индексирующее множество для рёбер, <math>b</math> — множество вершин, тогда <math>f \colon a \rightarrow (b \times b)</math> выбирает пару элементов <math>b</math> для каждого <math>a</math>, то есть <math>f</math> выбирает определённое ребро из множества возможных рёбер <math>b \times b</math>. Морфизмы в этой категории — функции на индексирующем множестве и множестве вершин, такие что образы вершин, соответствовавших данному ребру, будут соответствовать его образу.
Забывающие функторы
Для любой категории запятой определены два забывающих функтора из неё — функтор прообраза <math>S\downarrow T \to \mathcal A</math>, который отображает:
- объекты: <math>(\alpha, \beta, f)\mapsto \alpha</math>,
- морфизмы: <math>(g, h)\mapsto g</math>,
и функтор образа <math>S\downarrow T \to \mathcal B</math>, который отображает:
- объекты: <math>(\alpha, \beta, f)\mapsto \beta</math>,
- морфизмы: <math>(g, h)\mapsto h</math>.
Сопряжения
Функторы <math>F \colon \mathcal C \longrightarrow \mathcal D</math> и <math>G \colon \mathcal D \longrightarrow \mathcal C</math> сопряжены тогда и только тогда, когда категории запятой <math>F \downarrow \mathrm{Id}_\mathcal{D})</math> и <math>(\mathrm{Id}_\mathcal{C} \downarrow G)</math> изоморфны, причём эквивалентные элементы проектируются на один и тот же элемент <math>\mathcal{C} \times \mathcal{D}</math>. Это позволяет описать сопряжённые функторы, не используя множества, и это было главной причиной появления конструкции категорий запятой.
Естественные преобразования
Если образы функторов <math>S</math> и <math>T</math> совпадают, то диаграмма, определяющая морфизм в <math>S\downarrow T</math> с <math>\alpha=\beta, \alpha'=\beta', g=h</math> совпадает с диаграммой, определяющей естественное преобразование <math>S\to T</math>. Различие между двумя определениями состоит в том, что естественное преобразование — это определённый класс морфизмов вида <math>S(\alpha)\to T(\alpha)</math>, тогда как объекты категории запятой — это все морфизмы такого вида. Функтор в категорию запятой может выбрать конкретное семейство морфизмов. И действительно, естественному преобразованию <math>\eta:S\to T</math>, где <math>S, T:\mathcal A \to \mathcal C</math> соответствует функтор <math>\mathcal A \to (S\downarrow T)</math> который отображает объект <math>\alpha</math> в <math>(\alpha, \alpha, \eta_\alpha)</math> и морфизмы <math>g</math> в <math>(g, g)</math>. Это задаёт биекцию между естественными преобразованиями <math>S\to T</math> и функторами <math>\mathcal A \to (S\downarrow T)</math>, которые являются левыми обратными обоих забывающих функторов из <math>S\downarrow T</math>.
Примечания
Литература
