Русская Википедия:Качающийся факториал

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Swinging factorial graph (logarithmic scale).png

График функции качающегося факториала на логарифмической шкале

Качающийся факториал (Шаблон:Lang-en) — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел <math>\mathbb{Z}^+</math>. Обозначается <math>n\wr</math>, произносится эн качающийся факториа́л.

Качающийся факториал натурального числа <math>n</math> определяется следующей формулой:

<math>n\wr=\frac{n!}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor!^2}=\frac{\prod_{i=1}^{n}i}{\left\lfloor\prod^{\frac{n}{2}}_{i=1}i\right\rfloor^2}</math>

Данная дробь всегда будет целым числом по простой причине — она кратна биномиальному коэффициенту <math>\binom{n}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}</math>, который равен в точности <math>\frac{n!}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor!\cdot\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil!}</math>.

Из первой формулы можем получить новое определение факториала натурального числа <math>n</math>:

<math>n!=n\wr\lfloor n/2\rfloor!^2</math>

Качающийся факториал назван именно так из-за его графика функции, напоминающий функцию качения.

Последовательность качающегося факториала в OEIS

Последовательность качающегося факториала в Онлайн-Энциклопедии целочисленных последовательностей указана под кодировкой A056040.

Ниже приведены первые 10 значений функции качающегося факториала:

Значения факториала (OEIS A056040)

<math>n</math>	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
<math>n\wr</math>	1	1	2	6	6	30	20	140	70	630	252	2772	924	12012	3432	51480	12870	218790	48620	923780	124756	3879876	705432	16224936	2704156

См. также

• Факториал
• Комбинаторика
• Логарифм
• Пол и потолок (функции)