Русская Википедия:Квадратичная иррациональность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения <math>ax^2+bx+c=0</math> с рациональными коэффициентами <math>a,b,c</math> (или, что то же, вещественным корнем многочлена 2-й степени с рациональными коэффициентами <math>ax^2+bx+c</math>). В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений.

Иррациональность числа <math>x</math> означает, что оно не может быть представлено в виде рационального числа (дроби). Из этого следует, что многочлен <math>ax^2+bx+c=0</math> неприводим в поле рациональных чисел <math>\mathbb{Q},</math> то есть не распадается в этом поле на множители первой степени.

Алгебраические свойства

Решение квадратного уравнения <math>ax^2+bx+c=0</math> даёт формула:

<math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},</math>

где <math>D=b^2-4ac</math> (дискриминант уравнения). Вещественность корня означает, что <math>D \geqslant 0.</math> Следовательно, всякая квадратичная иррациональность имеет вид:

<math>x=u + v\sqrt{D},</math>

где <math>u, v, D</math> — рациональные числа, причём <math>v \ne 0</math>, а подкоренное выражение <math>D</math> неотрицательно и не является полным квадратом рационального числа.

Примеры: <math>11 - \sqrt{2};\quad \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>.

Из определения следует, что квадратичные иррациональности являются алгебраическими числами второй степени. Отметим, что обратный элемент для <math>x=u + v\sqrt{D}</math> также является квадратичной иррациональностью:

<math>{1 \over u+v\sqrt{D}} = {u - v\sqrt{D} \over u^2-v^2D}. </math>

Число <math>x'=u - v\sqrt{D}</math> называется сопряжённым для <math>x=u + v\sqrt{D}.</math> Имеют место формулы:

<math>(x+y)' = x'+y'; \quad (xy)' = x'y';\quad \left(\frac 1x \right)' = \frac {1}{x'}.</math>

Канонический формат

Без ограничения общности можно упростить уравнение <math>ax^2+bx+c=0</math> следующим образом.

1. Коэффициенты рассматриваемого уравнения 2-й степени можно сделать целыми числами, поскольку от знаменателей дробей легко избавиться, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное всех знаменателей. Дискриминант <math>D</math> тогда тоже становится целым числом.
2. Если старший коэффициент <math>a<0,</math> то умножим уравнение на <math>-1</math>.
3. Наконец, разделим полученное уравнение <math>ax^2+bx+c=0</math> на наибольший общий делитель НОД<math>(a,b,c)</math>.

В итоге получим уравнение <math>ax^2+bx+c=0</math> с целочисленными взаимно простыми коэффициентами, причём старший коэффициент положителенШаблон:Sfn. Это уравнение однозначно связано с парой своих корней, и множество таких уравнений счётно. Поэтому множество квадратичных иррациональностей также счётно.

Часто удобно в выражении корня <math>x=u + v\sqrt{D},</math> выполнить ещё одну модификацию: если в каноническое разложение <math>D</math> входят какие-либо квадраты, вынесем их за знак радикала, так что оставшееся значение <math>D</math> будет свободно от квадратов.

Квадратичные поля

Шаблон:Main Сумма, разность и произведение квадратичных иррациональностей с одним и тем же дискриминантом <math>D</math> либо имеют тот же формат, либо являются рациональными числами, поэтому вместе они образуют поле, являющееся нормальным расширением второй степени поля рациональных чисел Шаблон:Math. Это поле обозначается <math>\mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> и называется квадратичным полем. Всякое такое расширение <math>\mathbb{Q}</math> может быть получено описанным способом. Группа Галуа расширения, кроме тождественного автоморфизма, содержит отображение иррационального числа в сопряжённое ему (в указанном выше смысле).

Предположим, что, как описано выше, <math>D</math> — свободное от квадратов целое число. Тогда для разных значений <math>D</math> получаются разные квадратичные поля Шаблон:Sfn.

Для квадратичного поля можно построить его кольцо целых, то есть множество корней приведённых многочленов с целыми коэффициентами, у которых старший коэффициент равен 1. Свободное от квадратов <math>D</math> не может делиться на 4, поэтому возможны два случая в зависимости от того, какой остаток даёт <math>D</math> при делении на 4.

1. Если <math>D</math> имеет вид <math>4k+1,</math> то целые элементы — это числа вида <math>m+n\cdot\tfrac{1 + \sqrt{D}}{2}</math>, где <math>m,n</math> — натуральные числа.
2. Если <math>D</math> имеет вид <math>4k+2</math> или <math>4k+3,</math> то целые элементы — это числа вида <math>m+n\sqrt D</math>, где <math>m,n</math> — натуральные числа.

Связь с непрерывными дробями

Вещественные квадратичные иррациональности связаны с непрерывными дробями теоремой Лагранжа (иногда называемой теоремой Эйлера—Лагранжа)Шаблон:Sfn: Шаблон:Рамка Вещественное число является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда оно разлагается в бесконечную периодическую непрерывную дробь. |} Пример:

<math>\sqrt{3}=1.732\ldots=[1;1,2,1,2,1,2,\ldots]</math>

Непрерывная дробь, у которой период начинается с первого же звена, называется чисто периодической. Эварист Галуа в 1828 году доказал: непрерывная дробь для квадратической иррациональности <math>x</math> будет чисто периодической тогда и только тогда, когда <math>x>1</math>, а сопряжённая иррациональность <math>x'</math> лежит в интервале <math>(-1; 0)</math>. Он доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряжённая квадратическая иррациональность имеет те же звенья, но расположенные в обратном порядке.

Обобщение

Квадратичная иррациональность является частным случаем «иррациональности <math>n</math>-й степени», которая является корнем неприводимого в поле <math>\mathbb{Q}</math> многочлена <math>n</math>-й степени с целыми коэффициентами. Рациональные числа получаются при <math>n=1,</math> а квадратичные иррациональности соответствуют случаю <math>n=2.</math>

Некоторые источники включает в число квадратичных иррациональностей также и комплексные корни квадратных уравнений (например, гауссовы целые числа или числа Эйзенштейна).

Г. Ф. Вороной в работе «О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени» (1894) распространил теорию (включая непрерывные дроби) на случай кубических иррациональностей.

История

Феодор Киренский и его ученик Теэтет Афинский (IV в. до н. э.) первыми доказали, что если число <math>N</math> не представляет собой полный квадрат, то <math>\sqrt{N}</math> не является рациональным числом, то есть не может быть точно выражен в виде дроби. Это доказательство опиралось на «лемму Евклида». Евклид посвятил этим вопросам десятую книгу своих «Начал»; он, как и современные источники, использовал основную теорему арифметики.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Continued fraction calculator for quadratic irrationals Шаблон:Wayback Шаблон:Ref-en
• Proof that e is not a quadratic irrational Шаблон:Ref-en