Русская Википедия:Квадратичное поле
Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2 над <math>\mathbb Q</math>. Можно доказать, что отображение <math>d\mapsto \mathbb Q(\sqrt d)</math> задаёт биекцию между множеством свободных от квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфных квадратичных полей. Если <math>d>0,</math> квадратичное поле называется действительным, в противном случае — мнимым или комплексным.
Кольцо целых квадратичного поля
Для любого алгебраического числового поля можно рассмотреть его кольцо целых, то есть множество элементов, являющихся корнями приведенных многочленов с целыми коэффициентами. В случае квадратичного поля это корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, все числа такого вида нетрудно описать.
Пусть <math>D</math> — свободное от квадратов целое число, сравнимое с 2 или 3 по модулю 4. Тогда кольцо целых соответствующего квадратичного поля (обозначаемое <math>\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{D})}</math>) — это множество линейных комбинаций вида <math>a+b\sqrt D</math> (квадратичных иррациональностей), где <math>a,b\in \mathbb Z</math>, с обычными операциями сложения и умножения комплексных чисел. Соответственно, если <math>D\equiv 1\pmod{4}</math>, кольцо целых состоит из чисел вида <math>a+b\cdot\tfrac{1 + \sqrt{D}}{2}</math>, где <math>a,b\in \mathbb Z</math>.
Примеры колец целых
- Классический пример — кольцо гауссовых целых чисел, соответствующее случаю <math>D=-1</math>. Это кольцо было впервые описано Гауссом около 1800 года, для того, чтобы сформулировать биквадратичный закон взаимности.[1]
- Случаю <math>D=-3</math> (так как −3 сравнимо с 1 по модулю 4) соответствуют целые числа Эйзенштейна.
Дискриминант
Дискриминант квадратичного поля <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math> равен d, когда d сравнимо с 1 по модулю 4, и 4d в противном случае. Например, дискриминант поля гауссовых рациональных чисел равен −4.
Разложение на простые в кольце целых
Любое кольцо целых является дедекиндовым, поэтому для любого его идеала существует и единственно разложение на простые идеалы. Пусть p — простое число, тогда для главного идеала, порожденного p в <math>\mathcal{O}_K</math> (K — произвольное квадратичное поле) возможны следующие три случая:
- (p) — простой идеал. Факторкольцо по нему — конечное поле из p2 элементов:
- <math>\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \cong \mathbb F_{p^2}</math>
- (p) раскладывается в произведение двух различных простых идеалов.
- <math>\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \cong \mathbb F_{p}\times \mathbb F_{p}</math>
- (p) — квадрат простого идеала. Тогда факторкольцо по нему содержит ненулевые нильпотенты.
Третий случай происходит тогда и только тогда, когда p делит дискриминант поля D (например, идеал (2) является квадратом идеала (1+i) в кольце гауссовых целых чисел). Первый и второй случаи происходят когда символ Кронекера <math>\left(\tfrac{D}{p}\right)</math> равен −1 и 1 соответственно.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга Chapter 6.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга Chapter 3.1.
- Dummit, D. S., Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.
- ↑ Dummit, pagе 229
