Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю. Согласно этому закону, если <math>p, q</math> — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид <math>4k + 1,</math> то два сравнения

<math>x^2 \equiv q \pmod p,</math>

<math>x^2 \equiv p \pmod q</math>

либо оба имеют решения для <math>x,</math> либо оба не имеют. Поэтому в названии закона используется слово «взаимность». Если же <math>p, q</math> оба имеют вид <math>4k + 3,</math> то решение имеет одно и только одно из указанных сравнений^[1].

Связанные определения

Если для заданных целых чисел <math>p, q</math> сравнение <math>x^2 \equiv p \pmod{q}</math> имеет решения, то <math>p</math> называется квадратичным вычетом^[2] по модулю <math>q,</math> а если решений нет, то — квадратичным невычетом по модулю <math>q.</math> С использованием этой терминологии можно сформулировать квадратичный закон взаимности следующим образом: Шаблон:Рамка Если <math>p, q</math> — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид <math>4k + 1,</math> то либо оба <math>p, q</math> являются квадратичными вычетами по модулю друг друга, либо оба — невычеты. Если же <math>p, q</math> оба имеют вид <math>4k + 3,</math> то квадратичным вычетом является одно и только одно из этих чисел — либо <math>p</math> по модулю <math>q,</math> либо <math>q</math> по модулю <math>p.</math> |}

Пусть <math>p</math> — целое число, <math>q</math> — нечётное простое число. Символ Лежандра <math>\left(\frac{p}{q}\right)</math> определяется следующим образом:

<math>\left(\frac{p}{q}\right) = 0</math>, если <math>p</math> делится нацело на <math>q</math>.
<math>\left(\frac{p}{q}\right) = 1</math>, если <math>p</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>q</math>.
<math>\left(\frac{p}{q}\right) = -1</math>, если <math>p</math> является квадратичным невычетом по модулю <math>q</math>.

Примеры взаимности для простых чисел от 3 до 97

Приведенная ниже таблица наглядно показывает, какие нечётные простые числа, не превышающие 100, являются вычетами, а какие — невычетами. Например, первая строка относится к модулю 3 и означает, что число 5 является квадратичным невычетом (Н), 7 является вычетом (В), 11 — невычетом и т. д. По таблице ясно видно, что для чисел вида <math>4k+1</math> (зелёные и синие клетки) все коды, симметричные им относительно главной диагонали матрицы, в точности такие же, что и означает «взаимность». Например, в клетке (5, 7) тот же код, что и в клетке (7, 5). Если же клетки соответствуют двум числам вида <math>4k+3</math> (жёлтые и красные клетки), то коды противоположны — например, для (11, 19).

Пояснения:
В	q является вычетом по модулю p	q ≡ 1 (mod 4) или p ≡ 1 (mod 4) (или оба)
Н	q является невычетом по модулю p	q ≡ 1 (mod 4) или p ≡ 1 (mod 4) (или оба)
В	q является вычетом по модулю p	оба q ≡ 3 (mod 4) и p ≡ 3 (mod 4)
Н	q является невычетом по модулю p	оба q ≡ 3 (mod 4) и p ≡ 3 (mod 4)

		3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
		q
p	3		Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	В	Н	Н	В
	5	Н		Н	В	Н	Н	В	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н
	7	Н	Н		В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н
	11	В	В	Н		Н	Н	Н	В	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	В	Н	Н	Н	В	В
	13	В	Н	Н	Н		В	Н	В	В	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	В	Н	Н	Н
	17	Н	Н	Н	Н	В		В	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н
	19	Н	В	В	В	Н	В		В	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н
	23	В	Н	Н	Н	В	Н	Н		В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н
	29	Н	В	В	Н	В	Н	Н	В		Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	В	В	Н	Н	В	Н	Н
	31	Н	В	В	Н	Н	Н	В	Н	Н		Н	В	Н	В	Н	В	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	В
	37	В	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н		В	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	Н
	41	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	В		В	Н	Н	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н
	43	Н	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	В	Н	В		В	В	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В
	47	В	Н	В	Н	Н	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	Н		В	В	В	Н	В	Н	В	В	В	В
	53	Н	Н	В	В	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	В	В		В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	В
	59	В	В	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	В	Н	Н	В		Н	Н	В	Н	В	Н	Н	Н
	61	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	Н		Н	Н	В	Н	В	Н	В
	67	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	В	В	Н	В	Н	Н	В	Н	В	Н		В	В	Н	В	В	Н
	71	В	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н		В	В	В	В	Н
	73	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	В	В	В		В	Н	В	В
	79	Н	В	Н	В	В	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	В		В	В	В
	83	В	Н	В	В	Н	В	Н	В	В	В	В	В	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н		Н	Н
	89	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	В	Н		В
	97	В	Н	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В

Формулировка с помощью символов Лежандра

Квадратичный закон взаимности Гаусса для символов Лежандра утверждает, что

<math>\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)

(-1)^\frac{(p-1)(q-1)}4

\begin{cases}1&\text{если}&p\equiv 1\pmod 4&\text{или}&q\equiv 1\pmod 4,\\ -1&\text{если}&p\equiv 3\pmod 4&\text{и}&q\equiv 3\pmod 4,\end{cases} </math> где р и q — различные нечётные простые числа.

Также справедливы следующие дополнения:

<math>\left(\frac{-1}p\right)

(-1)^\frac{p-1}2

\begin{cases}1&\text{если}&p\equiv 1\pmod 4,\\ -1&\text{если}&p\equiv 3\pmod 4,\end{cases} </math>

<math>\left(\frac 2p\right)

(-1)^\frac{p^2-1}8

\begin{cases}1&\text{если}&p\equiv \pm1\pmod 8,\\ -1&\text{если}&p\equiv \pm3\pmod 8,\end{cases} </math> и

<math>\left(\frac ap\right)

= \left(\frac aq\right) \quad \text{если} \quad p\equiv q\pmod{4a}. </math>

Следствия

Шаблон:Нет источников в разделе

Следующий факт, известный ещё Ферма: простыми делителями чисел <math>x^2 + 1</math> могут быть лишь число 2 и простые числа, принадлежащие арифметической прогрессии
<math>4k + 1.</math>

Более того, этот признак является и критерием, то есть сравнение

<math>x^2 + 1 \equiv 0 \pmod{p}</math>

по простому модулю <math>p > 2</math> разрешимо в том и только в том случае, когда <math>p \equiv 1 \pmod 4.</math> С помощью символа Лежандра последнее утверждение может быть выражено следующим образом:

<math>\left(\frac{-1}p\right) = (-1)^\frac{p - 1}2.</math>

Вопрос о разрешимости сравнения
<math>ax^2 + bx + c \equiv 0 \pmod{p}</math>

решается алгоритмом с использованием мультипликативности символа Лежандра и квадратичного закона взаимности.

Примеры использования

Квадратичный закон позволяет быстро вычислять символы Лежандра. Например
<math>\left(\frac{983}{1103}\right)

-\left(\frac{1103}{983}\right)

-\left(\frac{120}{983}\right)

-\left(\frac{2}{983}\right)^3\cdot\left(\frac{3}{983}\right)\cdot\left(\frac{5}{983}\right)

\left(\frac{983}{3}\right)\cdot\left(\frac{983}{5}\right)

\left(\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}\right)

\left(\frac{2}{3}\right)^2 =1</math>

Следовательно, сравнение

<math>x^2\equiv 983\pmod{1103}</math>

имеет решение.

Если использовать аналог закона взаимности для символа Якоби, то вычисление проходит ещё проще, поскольку более нет необходимости раскладывать числитель символа на простые множители.

<math>\left(\frac{983}{1103}\right)

-\left(\frac{1103}{983}\right)

-\left(\frac{120}{983}\right)

-\left(\frac{2}{983}\right)^3\cdot\left(\frac{15}{983}\right)

\left(\frac{983}{15}\right)

\left(\frac{8}{15}\right)

\left(\frac{2}{15}\right)^3 =1</math>

История

Формулировка квадратичного закона взаимности была известна ещё Эйлеру в 1783 году^[3]. Лежандр сформулировал закон независимо от Эйлера и доказал его в некоторых частных случаях в 1785 году. Полное доказательство было опубликовано Гауссом в «Арифметических исследованиях» (1801 год); впоследствии Гаусс дал ещё несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях.

Одно из самых простых доказательств было предложено Золотарёвым в 1872 году.^[4]^[5]^[6]

В дальнейшем были получены различные обобщения квадратичного закона взаимности^[7].

Вариации и обобщения

Квадратичный закон взаимности естественно обобщается на символы Якоби, это позволяет ускорить нахождение символа Лежандра, поскольку более не требует проверки на простоту.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Львовский С. М. Квадратичный закон взаимности Шаблон:Wayback Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна

Внешние ссылки

↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Euler, Opuscula analytica, Petersburg, 1783.
↑ Шаблон:Статья Шаблон:Недоступная ссылка
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.

Шаблон:Выбор языка

[1] Шаблон:Книга

[2] Шаблон:Книга

[3] Euler, Opuscula analytica, Petersburg, 1783.

[4] Шаблон:Статья Шаблон:Недоступная ссылка

[5] Шаблон:Статья

[6] Шаблон:Статья

[7] Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Квадратичный закон взаимности

Содержание

Связанные определения

Примеры взаимности для простых чисел от 3 до 97

Формулировка с помощью символов Лежандра

(-1)^\frac{(p-1)(q-1)}4

(-1)^\frac{p-1}2

(-1)^\frac{p^2-1}8

Следствия

Примеры использования

-\left(\frac{1103}{983}\right)

-\left(\frac{2}{983}\right)^3\cdot\left(\frac{3}{983}\right)\cdot\left(\frac{5}{983}\right)

\left(\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}\right)

-\left(\frac{1103}{983}\right)

-\left(\frac{2}{983}\right)^3\cdot\left(\frac{15}{983}\right)

\left(\frac{8}{15}\right)

История

Вариации и обобщения

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты

		3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
		q
p	3		Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	В	Н	Н	В
	5	Н		Н	В	Н	Н	В	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н
	7	Н	Н		В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н
	11	В	В	Н		Н	Н	Н	В	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	В	Н	Н	Н	В	В
	13	В	Н	Н	Н		В	Н	В	В	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	В	Н	Н	Н
	17	Н	Н	Н	Н	В		В	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н
	19	Н	В	В	В	Н	В		В	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н
	23	В	Н	Н	Н	В	Н	Н		В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н
	29	Н	В	В	Н	В	Н	Н	В		Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	В	В	Н	Н	В	Н	Н
	31	Н	В	В	Н	Н	Н	В	Н	Н		Н	В	Н	В	Н	В	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	В
	37	В	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н		В	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	Н
	41	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	В		В	Н	Н	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н
	43	Н	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	В	Н	В		В	В	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В
	47	В	Н	В	Н	Н	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	Н		В	В	В	Н	В	Н	В	В	В	В
	53	Н	Н	В	В	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	В	В		В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	В
	59	В	В	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	В	Н	Н	В		Н	Н	В	Н	В	Н	Н	Н
	61	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	Н		Н	Н	В	Н	В	Н	В
	67	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	В	В	Н	В	Н	Н	В	Н	В	Н		В	В	Н	В	В	Н
	71	В	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н		В	В	В	В	Н
	73	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	В	В	В		В	Н	В	В
	79	Н	В	Н	В	В	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	В		В	В	В
	83	В	Н	В	В	Н	В	Н	В	В	В	В	В	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н		Н	Н
	89	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	В	Н		В
	97	В	Н	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В

		3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
		q
p	3		Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	В	Н	Н	В
	5	Н		Н	В	Н	Н	В	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н
	7	Н	Н		В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н
	11	В	В	Н		Н	Н	Н	В	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	В	Н	Н	Н	В	В
	13	В	Н	Н	Н		В	Н	В	В	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	В	Н	Н	Н
	17	Н	Н	Н	Н	В		В	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н
	19	Н	В	В	В	Н	В		В	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н
	23	В	Н	Н	Н	В	Н	Н		В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н
	29	Н	В	В	Н	В	Н	Н	В		Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	В	В	Н	Н	В	Н	Н
	31	Н	В	В	Н	Н	Н	В	Н	Н		Н	В	Н	В	Н	В	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	В
	37	В	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н		В	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	Н
	41	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	В		В	Н	Н	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н
	43	Н	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	В	Н	В		В	В	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В
	47	В	Н	В	Н	Н	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	Н		В	В	В	Н	В	Н	В	В	В	В
	53	Н	Н	В	В	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	В	В		В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	В
	59	В	В	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	В	Н	Н	В		Н	Н	В	Н	В	Н	Н	Н
	61	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	Н		Н	Н	В	Н	В	Н	В
	67	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	В	В	Н	В	Н	Н	В	Н	В	Н		В	В	Н	В	В	Н
	71	В	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н		В	В	В	В	Н
	73	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	В	В	В		В	Н	В	В
	79	Н	В	Н	В	В	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	В		В	В	В
	83	В	Н	В	В	Н	В	Н	В	В	В	В	В	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н		Н	Н
	89	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	В	Н		В
	97	В	Н	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В

		3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
		q
p	3		Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	В	Н	Н	В
	5	Н		Н	В	Н	Н	В	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н
	7	Н	Н		В	Н	Н	Н	В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н
	11	В	В	Н		Н	Н	Н	В	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	В	Н	Н	Н	В	В
	13	В	Н	Н	Н		В	Н	В	В	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	В	Н	Н	Н
	17	Н	Н	Н	Н	В		В	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	В	В	Н	В	Н	Н	Н	В	В	Н
	19	Н	В	В	В	Н	В		В	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н
	23	В	Н	Н	Н	В	Н	Н		В	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н
	29	Н	В	В	Н	В	Н	Н	В		Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	В	В	Н	Н	В	Н	Н
	31	Н	В	В	Н	Н	Н	В	Н	Н		Н	В	Н	В	Н	В	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	В
	37	В	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н		В	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	Н
	41	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	В		В	Н	Н	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н
	43	Н	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	В	Н	В		В	В	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В
	47	В	Н	В	Н	Н	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	Н		В	В	В	Н	В	Н	В	В	В	В
	53	Н	Н	В	В	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	В	В		В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	В
	59	В	В	В	Н	Н	В	В	Н	В	Н	Н	В	Н	Н	В		Н	Н	В	Н	В	Н	Н	Н
	61	В	В	Н	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	Н		Н	Н	В	Н	В	Н	В
	67	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	В	В	Н	В	Н	Н	В	Н	В	Н		В	В	Н	В	В	Н
	71	В	В	Н	Н	Н	Н	В	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н		В	В	В	В	Н
	73	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н	В	В	В		В	Н	В	В
	79	Н	В	Н	В	В	Н	В	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	В		В	В	В
	83	В	Н	В	В	Н	В	Н	В	В	В	В	В	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	Н	Н		Н	Н
	89	Н	В	Н	В	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Н	В	В	Н	Н	В	В	В	В	Н		В
	97	В	Н	Н	В	Н	Н	Н	Н	Н	В	Н	Н	В	В	В	Н	В	Н	Н	В	В	Н	В