Русская Википедия:Квадратное пирамидальное число
Квадра́тное пирамида́льное число́ (часто называемое просто пирамида́льным число́м) — пространственное фигурное число, представляющее пирамиду, с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат, в решётке из Шаблон:Times точек.
Начало последовательности:
- Шаблон:Nums, … (Шаблон:OEIS).
Формула
Общая формула для <math>n</math>-го по порядку квадратного пирамидального числа:
- <math>P_n = \sum_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}.</math>
Это частный случай Шаблон:Нп5, которую несложно доказать по индукции. Впервые равносильная формула была приведена в «Книге абака» Фибоначчи (XIII век).
В современной математике формализация фигурных чисел происходит с помощью многочленов Эрара. Многочлен Эрара L(P,t) многогранника P — многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрара пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, а вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле[1]:
- (t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.
Производящая функция
Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:
- <math>\mathbf 1x+\mathbf5 x^2+\mathbf{14}x^3+\mathbf{30}x^4+\mathbf{55}x^5+\ldots = \frac{x(x+1)}{(x-1)^4}.</math>
Связь с другими фигурными числами
Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биномиальных коэффициентов:
- <math>P_n = \binom{n + 2}{3} + \binom{n + 1}{3}.</math>
Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдральные числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдральными следующим образомШаблон:Sfn:
- <math>P_n=\frac14\binom{2n+2}{3}.</math>
Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом.
Проблема нахождения квадратных пирамидальных чисел, являющихся одновременно квадратными числами, известна как задача об укладке пушечных ядер и была сформулирована Люка (1875)[2].
Примечания
Литература
Ссылки
- Фигурные числа Шаблон:Wayback
- Шаблон:MathWorld
- Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula Шаблон:Wayback
- Шаблон:Книга
