Русская Википедия:Квадратное уравнение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

<math>ax^2 + bx + c = 0, \; a \ne 0,</math>

в котором <math>x</math> — неизвестное, а коэффициенты <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> — вещественные или комплексные числа.

Корень уравнения <math>ax^2 + bx + c = 0</math> — это значение неизвестного <math>x</math>, обращающее квадратный трёхчлен <math>ax^2 + bx + c</math> в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена <math>ax^2 + bx + c.</math>

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названияШаблон:Sfn:

• <math>a</math> называют первым или старшим коэффициентом,
• <math>b</math> называют вторым, средним коэффициентом или коэффициентом при <math>x</math>,
• <math>c</math> называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единицеШаблон:Sfn. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент <math>a</math>:

<math>x^2 + px + q = 0, \quad p=\dfrac{b}{a}, \quad q=\dfrac{c}{a}.</math>

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравненияШаблон:Sfn. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

<math>x^2+x=\frac{3}{4};\ x^2-x=14\frac{1}{2}.</math>

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанном индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)Шаблон:Sfn; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: <math>ax^2+bx=c;</math> притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме <math>a,</math> могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения <math>ax^2 + bx + c=0</math> называется величина <math>\mathcal{D}=b^2 - 4ac</math>.

Условие	<math>\mathcal{D} > 0</math>	<math>\mathcal{D} = 0</math>	<math>\mathcal{D} < 0</math>
Количество корней	Два корня	Один корень кратности 2 (другими словами, два равных корня)	Действительных корней нет
Формула	<math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\mathcal{D}}}{2a}</math>Шаблон:Nbsp(1)	<math>x = -\frac{b}{2a}</math>	—

Шаблон:Скрытый{2a}</math>

<math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\mathcal{D}}}{2a}.</math>

• Формула для случая <math>\mathcal{D} = 0</math> является частным случаем формулы (1):

<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{\mathcal{D}}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = -\frac{b}{2a}.</math>

• Для случая <math>\mathcal{D} < 0</math> отсутствие вещественных корней также следует из формулы (1), поскольку квадратный корень из отрицательного числа не принадлежит множеству вещественных чисел.

}}

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида <math>ax^2 + 2kx + c = 0</math>, то есть при чётном <math>b</math>, где

<math>k=\frac{1}{2}b,</math>

вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выраженийШаблон:Sfn.

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

Дискриминант		Корни
неприведённое	приведённое	Шаблон:S	неприведённое	приведённое
удобнее вычислять значение четверти дискриминанта: <math>\frac{D}{4}=k^2-ac</math> Все необходимые свойства при этом сохраняются.	<math>\frac{D}{4}=k^2-c</math>.		<math>x_{1, 2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}.</math>	<math>x_{1,2}=-k\pm\sqrt{k^2-c}</math>
		Шаблон:S	<math>x=\frac{-k}{a}</math>	<math>x=-k</math>

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

Шаблон:S, Шаблон:S	b=0; c≠0	b≠0; c=0
<math>\begin{alignat}{2} ax^2 &= 0, \\ x^2 &= 0, \\ x &= 0. \end{alignat}</math> (процесс преобразования специально показан подробно, на практике можно сразу переходить к последнему равенству)	<math>\begin{align} ax^2+c &= 0, \\ ax^2 &= -c, \\ x^2 &= -\dfrac ca, \\ x_{1,2} &= \pm\sqrt{-\dfrac ca}. \end{align}</math>Если <math>-\dfrac{c}{a}>0</math>, то уравнение имеет два действительных корня (разных по знаку), a если <math>-\dfrac{c}{a}<0</math>, то уравнение не имеет действительных корней.	<math>\begin{align} ax^2+bx &= 0, \\ x(ax+b) &= 0, \end{align}</math> <math>x=0</math> или <math>ax+b=0,</math><math>x_1=0,\quad x_2=-\dfrac{b}{a}.</math> Такое уравнение обязательно имеет два действительных корня, причём один из них всегда равен нулю.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении <math>ax^2+bx+c=0</math> сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: <math>a+c=b</math>, то его корнями являются <math>-1</math> и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (<math>-\frac{c}{a}</math>).

Шаблон:Скрытый{2a}=\frac{-(a+c)\pm\sqrt{(a-c)^2}}{2a}=\frac{-a-c\pm|a-c|}{2a}=\frac{-a-c\pm a\mp c}{2a}</math>.

<math>x_1=\frac{-a-c-a+c}{2a}=\frac{-2a}{2a}=-1;</math>

<math>x_2=\frac{-a-c+a-c}{2a}=\frac{-2c}{2a}=-\frac{c}{a}.</math>

В частности, если <math>a=c</math>, то корень будет один: <math>-1.</math>

Способ 2.

Файл:Иллюстрация к доказательству.png

Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы <math>y=ax^2 +bx+c</math> с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой <math>x=-\frac{b}{2a}</math>. Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: <math> -\frac{b}{2a} + \rho (x_1; -\frac{b}{2a})=x_2</math> (если <math> x_1<x_2</math>) или <math> -\frac{b}{2a} - \rho (-\frac{b}{2a}; x_1)=x_2</math> (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество <math>\rho(a;b)=|a-b|</math>, выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что <math>x_1=-1</math> (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: <math> a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = (a+c)-b=0</math>, поэтому -1 - корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: <math>-\frac{b}{2a} \pm |-\frac{b}{2a}-(-1)| = x_2.</math> Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем - отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве <math>b-a=c</math>, раскрываем модуль: <math>x_2=-\frac{b}{2a} -\frac{b}{2a}+1=-\frac{2b-2a}{2a}=-\frac{b-a}{a}=-\frac{c}{a}</math>. Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч.т.д. }}

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (<math>a+b+c=0</math>), то корнями такого уравнения являются <math>1</math> и отношение свободного члена к старшему коэффициенту (<math>\frac{c}{a}</math>).

Шаблон:Скрытый{2a}=\frac{a+c\pm\sqrt{(a-c)^2}}{2a}=\frac{a+c\pm|a-c|}{2a}=\frac{a+c\pm a\mp c}{2a};</math>

<math>x_1=\frac{a+c+a-c}{2a}=\frac{2a}{2a}=1;</math>

<math>x_2=\frac{a+c-a+c}{2a}=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a},</math>

что и требовалось доказать.

В частности, если <math>a=c</math>, то уравнение имеет только один корень, которым является число <math>1</math>.

Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: <math>a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c =0</math> - верное равенство, следовательно, единица - корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту - <math>x_1 x_2 =\frac{c}{a} \Rightarrow x_2 =\frac{c}{ax_1}=\frac{c}{a \cdot 1} =\frac{c}{a}</math>, ч.т.д. }}

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Если трёхчлен вида <math> ax^2 + bx +c ~ (a\not=0) </math> удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей <math>(kx+m)(lx+n)=0</math>, то можно найти корни уравнения <math> ax^2 + bx +c=0</math> — ими будут <math> -\frac{m}{k}</math> и <math>-\frac{n}{l}</math>, действительно, ведь <math>(kx+m)(lx+n)=0 \Longleftrightarrow \biggl[\begin{array}{lcl} kx+m=0, \\ lx+n=0, \end{array}</math> а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)

Если квадратный трёхчлен имеет вид <math>(ax)^2 +2abx+b^2</math>, то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

<math>(ax)^2 +2abx + b^2 = (ax+b)^2,</math>

<math>(ax+b)^2 = 0,</math>

<math>x=-\frac{b}{a}.</math>

Выделение полного квадрата суммы (разности)

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

1. прибавляют и отнимают одно и то же число:
   <math>x^2 +px+(\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 +q =0;</math>.
2. применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
   <math>(x^2 + 2\frac{p}{2}x +(\frac{p}{2})^2) + (- (\frac{p}{2})^2 +q)=0,</math>
   <math>(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}-q;</math>
3. извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
   <math>x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt {\frac{p^2}{4}-q},</math>
   <math>x_{1, 2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt {\frac{p^2}{4}-q}. </math>

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства Шаблон:S. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) <math>x_1 , x_2</math>, будучи решением системы уравнений

<math> \begin{cases} x_1 + x_2 = -p,\\ x_1 x_2 = q, \end{cases}</math>

являются корнями уравнения <math>x^2 + px +q=0</math>.

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:

<math>ax^2+bx+c=0\quad\mid\;\cdot a,</math>

<math>(ax)^2 +b(ax)+ac=0;</math>

2) заменяем <math>y=ax\colon</math>

<math>y^2 +by+ac=0.</math>

Далее решаем уравнение относительно y по методу, описанному выше, и находим x = y/a.

Как можно заметить, в методе «переброски» старший коэффициент как раз «перебрасывается» к свободному члену.

Графическое решение квадратного уравнения

Файл:Квадратное уравнение.gif

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент <math>a</math> положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент <math>b</math> положительный (при положительном <math>a</math>, при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида <math>f(x)=g(x)</math> заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций <math>y=f(x)</math> и <math>y=g(x)</math> и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Приём I

Для решения квадратного уравнения <math>ax^2+bx+c=0</math> строится график функции <math>y=ax^2+bx+c</math> и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью <math>x</math>.

Приём II

Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду <math>ax^2=-bx-c</math> и строят в одной системе координат графики квадратичной функции <math>y=ax^2</math> и линейной функции <math>y=-bx-c</math>, затем находят абсциссу точек их пересечения.

Приём III

Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду <math>a(x+l)^2+m=0</math>, используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в <math>a(x+l)^2=-m</math>. После этого строятся график функции <math>y=a(x+l)^2</math> (им является график функции <math>y=ax^2</math>, смещённый на <math>|l|</math> единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую <math>y=-m</math>, параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Приём IV

Квадратное уравнение преобразуют к виду <math>ax^2+c=-bx</math>, строят график функции <math>y=ax^2+c</math> (им является график функции <math>y=ax^2</math>, смещённый на <math>c</math> единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и <math>y=-bx</math>, находят абсциссы их общих точек.

Приём V

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

<math>\dfrac{ax^2}{x}+\dfrac{bx}{x}+\dfrac{c}{x}=\dfrac{0}{x};</math>

<math>ax+b+\dfrac{c}{x}=0;</math>

затем

<math>ax+b=-\dfrac{c}{x}.</math>

Совершив преобразования, строят графики линейной функции <math>y=ax+b</math> и обратной пропорциональности <math>y=-\frac{c}{x};\ (c\not=0)</math>, отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если <math>c=0</math>, то приём не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

1. Построить в системе координат <math>Oxy</math> окружность с центром в точке <math>S\left(-\dfrac{b}{2a}; \dfrac{a+c}{2a}\right)</math>, пересекающую ось <math>Oy</math> в точке <math>C\left(0;\, 1\right)</math>.
2. Далее возможны три случая:
   • длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки <math>S</math>: в этом случае окружность пересекает ось <math>Ox</math> в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;
   • радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;
   • радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве <math>\mathbb R</math> нет.

Шаблон:Скрытый{2}=\dfrac{a+c}{2a}</math>. В третьем из возможных случаев, когда c\a=1 (и, значит, a=c), то <math> \dfrac{c}{a}=1=\dfrac{2a}{2a}=\dfrac{a+c}{2a}</math>.

Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Действительно, если мы построим окружность с центром в точке <math>S(-\dfrac{b}{2a}; \dfrac{c+a}{2a})</math>, проходящую через точку <math>C(0; 1)</math>, то она, в случаях, когда уравнение имеет действительные корни, пересечёт ось x в точках, абсциссы которых есть эти корни. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня (предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше), если длины равны, то один (по той же причине), если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет (доказывается тоже от противного: если корни есть, то окружность, проходящая через A, B, C совпадает с данной, и поэтому пересекает ось, однако она не должна пересекать ось абсцисс по условию, значит, предположение неверно). }}

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел

Уравнение с действительными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами <math>a,~b,~c</math> всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:

• при <math>\mathcal{D} > 0</math> уравнение будет иметь два вещественных корня:

  <math>x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\mathcal{D}}}{2a};</math>

• при <math>\mathcal{D} = 0</math> — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):

  <math>x = -\frac{b}{2a};</math>

• при <math>\mathcal{D} < 0</math> — два комплексно-сопряжённых корня, выражающихся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:

  <math>x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\mathcal{D}}}{2a} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\mathcal{D}|}}{2a}.</math>

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Корни приведённого квадратного уравнения

Квадратное уравнение вида <math>x^2 + px + q = 0,</math> в котором старший коэффициент <math>a</math> равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

<math>x_{1,2}= -\frac p2 \pm \sqrt{\left( \frac p2 \right)^2-q}.</math>

Мнемонические правила:

• Из «Радионяни»:

Шаблон:Начало цитаты «Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное q. Шаблон:Конец цитаты

• Из «Радионяни» (второй вариант):

Шаблон:Начало цитаты p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья. Шаблон:Конец цитаты

• Из «Радионяни» (третий вариант на мотив Подмосковных вечеров):

Шаблон:Начало цитаты Чтобы x найти к половине p,
Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,
Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Шаблон:Конец цитаты

Теорема Виета

Формулировка для приведённого квадратного уравнения

Сумма корней приведённого квадратного уравнения <math>x^2 + px + q = 0</math> (вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту <math>p</math>, взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену <math>q</math>:

<math>x_1 + x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q.</math>

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:Шаблон:Скрытый

Для неприведённого квадратного уравнения

В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения <math>ax^2 + bx + c = 0\colon</math>

<math>\begin{cases} x_1 + x_2 = -b/a, \\ x_1x_2 = c/a. \end{cases}</math>

На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

<math>\begin{cases} x_1 + x_2 = -b/a&\mid\cdot a, \\ x_1x_2 = c/a&\mid\cdot a^2; \end{cases}</math>

<math>\begin{cases} (ax_1) + (ax_2) = -b, \\ (ax_1)(ax_2) = ac, \end{cases}</math>

по которой можно устно находить ax₁, ax₂, а оттуда — сами корни:

Шаблон:СкрытыйНо у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:Шаблон:Скрытый

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

<math>ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)</math> (2)

Доказательство

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни <math>x_1</math> и <math>x_2</math> квадратного уравнения <math>ax^2+bx+c=0</math> образуют соотношения с его коэффициентами: <math>x_1+x_2=-\frac{b}{a},\ x_1x_2=\frac{c}{a}</math>. Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

<math>\begin{alignat}{2} ax^2+bx+c&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)= \\ & =a(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2)=a(x(x-x_1)-x_2(x-x_1)) \\ &=a(x-x_1)(x-x_2). \end{alignat}</math>

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Доказательство

Пусть <math>ax^2+bx+c=(kx+m)(nx+l)</math>. Тогда, переписав это разложение, получим:

<math>(kx+m)(nx+l)=k(x+\frac{m}{k})n(x+\frac{l}{n})=kn(x-(-\frac{m}{k}))(x-(-\frac{l}{n}))</math>.

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются <math>-\frac{m}{k}</math> и <math>-\frac{l}{n}</math>. Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества <math>\mathbb R</math>.

Следствие 2

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Доказательство

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве <math>\mathbb R</math>, что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Файл:Polynomialdeg2.svg

Для квадратичной функции:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x² − x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Алгебраические

Уравнение вида <math>a \cdot f^2(x) + b \cdot f(x) + c = 0</math> является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается методом введения новой переменной, то есть заменой <math>f(x)=t,~ t \in \mathcal{E}(f),</math> где <math>\mathcal{E}</math> — множество значений функции <math>f</math>, c последующим решением квадратного уравнения <math>a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0</math>.

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

<math>f(x) = \frac {-b - \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}} {2a}</math> и

<math>f(x) = \frac {-b + \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}} {2a}</math>

К примеру, если <math>f(x)=x^2</math>, то уравнение принимает вид:

<math>ax^4+bx^2+c=0.</math>

Такое уравнение 4-й степени называется биквадратнымШаблон:Sfn.

С помощью замены

<math>y = x + \dfrac{k}{x}</math>

к квадратному уравнению сводится уравнение

<math>a x^4 + b x^3 + c x^2 + k b x + k^2 a = 0,</math>

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнениеШаблон:Sfn.

Дифференциальные

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

<math>y + py' + qy = 0</math>

подстановкой <math>y = e^{kx}</math> сводится к характеристическому квадратному уравнению:

<math>k^2 + pk + q = 0</math>

Если решения этого уравнения <math>k_1</math> и <math>k_2</math> не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

<math>y = Ae^{k_1 x} + Be^{k_2 x}</math>, где <math>A</math> и <math>B</math> — произвольные постоянные.

Для комплексных корней <math>k_{1,2} = k_r \pm k_i i</math> можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

<math>y = e^{k_r x} \left( A\cos{k_i x} + B\sin{k_i x} \right) = Ce^{k_r x} \cos(k_i x + \varphi),</math>

где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают <math>k_1 = k_2 = k</math>, общее решение записывается в виде:

<math>y = Axe^{kx} + Be^{kx}</math>

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld3
• Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведённых квадратных уравнений и уравнений с чётным вторым коэффициентом Шаблон:Wayback / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».
• Математические методы