Русская Википедия:Квадратный корень из 2
| Иррациональные числа Шаблон:Вещественные константы | |
| Система счисления | Оценка числа Шаблон:Sqrt |
| Десятичная | 1,4142135623730950488… |
| Двоичная | 1,0110101000001001111… |
| Шестнадцатеричная | 1,6A09E667F3BCC908B2F… |
| Шестидесятеричная | 1; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 … |
| Рациональные приближения | 3/2; 7/5; 17/12; 41/29; 99/70; 239/169; 577/408; 1393/985; 3363/2378; 8119/5741; 19601/13860
(перечислено в порядке увеличения точности) |
| Непрерывная дробь | <math>1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}</math> |
Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт Шаблон:Num1. Обозначение: <math>\sqrt{2}.</math>
Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).
Хорошим и часто используемым приближением к <math>\sqrt{2}</math> является дробь <math>\tfrac{99}{70}</math>. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.
История
Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение <math>\sqrt{2}</math> при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:
- <math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421(296)\,.</math>
Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, называемом «Шульба-сутры» (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:
- <math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686\,.</math>
Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным числом. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чиселШаблон:Нет АИ.
Алгоритмы вычисления
Существует множество алгоритмов для приближения значения квадратного корня из двух обыкновенными или десятичными дробями. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней (частный случай метода Ньютона). Он состоит в следующем:
- <math>a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. </math>
Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше <math>n</math>), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с <math>a_0 = 1</math>:
- <math>\frac{3}{2}={ \color{Green} 1 }{,}5</math>
- <math>\frac{17}{12}={ \color{Green} 1{,}41 }6\ldots</math>
- <math>\frac{577}{408}={ \color{Green} 1{,}41421 }5\ldots</math>
- <math>\frac{665857}{470832}={ \color{Green} 1{,}41421356237 }46\ldots</math>
В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение <math>\sqrt{2}</math> до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ.
Мнемоническое правило
Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».
Свойства квадратного корня из двух
Половина <math>\sqrt{2}</math> приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:
- <math>\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos 45^\circ = \sin 45^\circ.</math>
Одно из интересных свойств <math>\sqrt{2}</math> состоит в следующем:
- <math>\ {1 \over {\sqrt{2} - 1}} = \sqrt{2} + 1</math>. Потому что <math>(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1.</math>
Это является результатом свойства серебряного сечения.
Другое интересное свойство <math>\sqrt{2}</math>:
- <math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 + \cdots}}} = 2.</math>
Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i, используя только квадратные корни и арифметические операции:
- <math>\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i}</math> и <math>\frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.</math>
Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.
- <math>\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\ \cdot^ {\cdot^ \cdot}}}} = 2</math>
Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения <math>\pi</math>:
- <math>2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} \to \pi \quad</math>при <math>m \to \infty .</math>
С точки зрения высшей алгебры, <math>\sqrt{2}</math> является корнем многочлена <math>x^2-2</math> и поэтому является целым алгебраическим числом[1]. Множество чисел вида <math>a+b\sqrt{2}</math>, где <math>a, b</math> — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается <math>\mathbb{Q}[\sqrt{2}]</math> и является подполем поля вещественных чисел.
Доказательство иррациональности
Доказательство через разложение на множители
Применим доказательство от противного: допустим, <math>\sqrt{2}</math> рационален, то есть представляется в виде дроби <math>\frac{m}{n}</math>, где <math>m</math> — целое число, а <math>n</math> — натуральное.
Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
- <math>\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2</math>.
Так как разложение <math>m^2</math> на простые множители содержит <math>2</math> в чётной степени, а <math>2n^2</math> — в нечётной, равенство <math>m^2=2n^2</math> невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и <math>\sqrt{2}</math> — иррациональное число.
Непрерывная дробь
Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:
- <math>\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}. </math>
Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь <math>\frac {m}{n}</math>, то последующая имеет вид <math>\frac {m+2 n}{m+n}</math>. Скорость сходимости здесь меньше, чем у вавилонского метода, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:
- <math>\frac {3}{2}; \ \frac {7}{5}; \ \frac {17}{12}; \ \frac {41}{29}; \ \frac {99}{70}; \ \frac {239}{169}; \ \frac {577}{408}; \ \frac {1393}{985}; \ \frac {3363}{2378} \dots </math>
Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.
Размер бумаги
<math>\ \sqrt{2} </math> используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216 серий A и B, а также серии C по ISO 217. Соотношение сторон равно <math>1:\sqrt{2}</math>. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,… и B0, B1, B2, B3...
Аналогичным способом (делением листа пополам) рациональное приближение к корню из двух (7/5) используется в форматах фотобумаги: 2R (2,5×3,5 дюйма), 3R (3,5×5 дюймов), 5R (5×7").
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:Нет источников Шаблон:Иррациональные числа
- ↑ Не путать с целым числом.
