Русская Википедия:Квадратный корень из 5

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Иррациональные числа Шаблон:Вещественные константы
Система счисления	Оценка числа Шаблон:Sqrt
Десятичная	2.23606797749978969…
Двоичная	10.0011110001101111…
Двенадцатеричная	2.29BB1325405891918…
Шестнадцатеричная	2.3C6EF372FE94F82C…
Шестидесятеричная	2;14 09 50 40 59 18 …
Рациональные приближения	7/3; 9/4; 20/9; 29/13; 38/17; 123/55; 161/72; 360/161; 521/233; 682/305; 2207/987; 2889/1292 (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	<math>2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \ddots}}}}</math>

Шаблон:Врезка Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт Шаблон:Num1. Это иррациональное и алгебраическое число.

Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.

Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

<math>{\color{OliveGreen}\frac{2}{1}}, \frac{7}{3} , {\color{OliveGreen}\frac{9}{4}} , \frac{20}{9} , \frac{29}{13} , {\color{OliveGreen}\frac{38}{17}} , \frac{123}{55} , {\color{OliveGreen}\frac{161}{72}} , \frac{360}{161} , \frac{521}{233} , {\color{OliveGreen}\frac{682}{305}} , \frac{2207}{987} , {\color{OliveGreen}\frac{2889}{1292}}, \dots</math>

Через бесконечный вложенный радикал: <math>\sqrt{5}={\sqrt{\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...}}}}}\dots</math>

Вавилонский метод

Вычисление корня из <math>5</math>, начиная с <math>r_0=2</math>, где <math>r_{n+1}=\frac{r_n+\tfrac{5}{r_n}}{2}</math>:

<math>\frac{2}{1} = 2.0,\quad \frac{9}{4} = 2.25,\quad \frac{161}{72} = 2.23611\dots,\quad \frac{51841}{23184} = 2.2360679779 \ldots</math>

Золотое сечение

Файл:Golden Rectangle Construction.svg

<math>\sqrt 5 /2</math> — диагональ половины квадрата, представляет собой геометрическое представление о золотом сечении.

Золотое сечение <math>\Phi</math> — среднее арифметическое Шаблон:Num1 и корня из 5. (<math>\varphi = 1 / \Phi </math>) алгебраически можно выразить так:

<math>\sqrt{5} = \varphi + \Phi = 2\varphi + 1 = 2\Phi - 1</math>

<math>\varphi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}</math>

<math>\Phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}.</math>

Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

<math>F\left(n\right) = {{\Phi^n-(1-\Phi)^n} \over {\sqrt 5}}.</math>

Отношение √5 к <math>\Phi</math> и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка:

<math>\frac{\sqrt{5}}{\Phi} = \varphi \cdot \sqrt{5} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} = 1.3819660112501051518\dots = [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots]</math>

<math>\frac{\Phi}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\varphi \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5}}{10} = 0.72360679774997896964\dots = [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots].</math>

<math>{1, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{7}{5}, \frac{11}{8}, \frac{18}{13}, \frac{29}{21}, \frac{47}{34}, \frac{76}{55}, \frac{123}{89}}, \dots \dots [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots]</math>

<math>{1, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{8}{11}, \frac{13}{18}, \frac{21}{29}, \frac{34}{47}, \frac{55}{76}, \frac{89}{123}}, \dots \dots [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1,\dots].</math>

Алгебра

Кольцо <math>\mathbb{Z}\left[\,\sqrt{-5}\,\right]</math> содержит числа вида <math>a\, +\, b\sqrt{-5}</math>, где a и b целые числа и <math>\sqrt{-5}= i\sqrt{5}</math> — мнимое число. Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.

Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

<math>6 = 2 \cdot 3 = (1 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5}).</math>

Поле <math>\mathbb{Q}\left[\,\sqrt{5}\,\right]</math> — абелево расширение рациональных чисел.

Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:

<math>\sqrt5 = e^{2\pi i/5} - e^{4\pi i/5} - e^{6\pi i/5} + e^{8\pi i/5}.</math>

Тождества Рамануджана

Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями.

Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

<math>

\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}} = \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right). </math>

<math>

\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + \ddots}}}} = \left( {\sqrt{5} \over 1 + \left[5^{3/4}(\varphi - 1)^{5/2} - 1\right]^{1/5}} - \varphi \right)e^{2\pi/\sqrt{5}}. </math>

<math>

4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \ddots}}}}}}}. </math>

Доказательство иррациональности

Докажем, что число <math>\sqrt{5}</math> — иррациональное число. Докажем от противного. Допустим, что число <math>\sqrt{5}</math> можно представить в виде несократимой дроби <math>\frac{n}{m}</math>, где <math>m</math> — целое число, а <math>n</math> — натуральное:

<math>\sqrt{5} = \frac{n}{m} \Rightarrow 5 = \frac{n^2}{m^2} \Rightarrow 5m^2 = n^2</math>

<math>n^2</math> делится на <math>5</math>, значит, <math>n</math> тоже делится на <math>5</math>; следовательно, <math>n^2</math> делится на <math>25</math>, а значит, <math>m</math> и <math>m^2</math> делится на <math>5</math>. То есть, дробь можно сократить, а это противоречит изначальному утверждению. Значит, исходное утверждение было неверным, и <math>\sqrt{5}</math> — иррациональное число.

См. также

• Квадратный корень из 2
• Квадратный корень из 3

Ссылки

• Proof that square root of 5 is irrationalШаблон:Недоступная ссылкаШаблон:Ref-en
• Theodorus' Constant Шаблон:Wayback at MathWorld