Русская Википедия:Квадратурный зеркальный фильтр
Квадратурный зеркальный фильтр ( Шаблон:Lang-en - QMF) – это фильтр, чья амплитудная характеристика представляет собой зеркальное отражение относительно <math>\pi/2</math> амплитудной характеристики другого фильтра. Был изобретён C. Galand в сотрудничестве с D. Esteband и Croiser[1]. Главной задачей фильтра является численная обработка сигналов и разложение сигнала на поддиапазоны. На выходе фильтр выдаёт изометрическое разложение сигнала на низкие и высокочастотные части.
Большая вероятность того, что любой входной сигнал может быть восстановлен на основе выходных сигналов, если фильтры находятся в парах. Высокочастотный фильтр связан с фильтром низких частот, вместе образуя Квадратурный зеркальный фильтр. Они служат зеркальным отражением друг друга.
Свойства
Используя такие понятие как:
- Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) сигнала: <math>X(w) = \sum_{n}^{}x_n e^{-inw} </math>
- Z-преобразование сигнала: <math>X(z) = \sum_{n}^{}x_n z^{-n}</math>
- Преобразование Фурье функции <math>x(t)</math> имеет вид <math>{\hat{x}}(w) = \frac{1}{2\Pi} \int_{-\infty}^{\infty} \! x(t)e^{-iwx}\,dt </math>
<math></math>
используя эти термины, фильтр можно записать следующим образом[2]
<math>Y(w) = H(w)X(w)</math>
или
<math>Y(z) = H(z)X(z)</math>
фильтр <math> H(z) </math> будет называться квадратурным зеркальным фильтром фильтра <math> H(w) </math>, при условии что <math> H(z)=H(-w) </math>, собственно поэтому фильтр получил такое название.
Спектр высокочастотного фильтра <math> H( e^{iw}) </math> это зеркальное отражение низко частотного фильтра со спектральной точкой перехода <math>w = \frac{\Pi}{2}</math> как показано на картинке[3].
Мы хотим найти два фильтра, <math>h</math> (подавляющий высокие частоты) и <math>g</math> (подавляющий низкие частоты), которые позволяли бы разложить сигнал на две компоненты, <math>X_H(z)</math> и <math>X_G(z)</math> , вдвое их проредить (половина значений становится лишней – ведь частотный диапазон сократился вдвое!), а затем, с помощью транспонированных фильтров, точно восстановить по этим данным исходный сигнал (эту операцию можно применять рекурсивно). Условия на искомые фильтры удобно записать в терминах z-преобразования.
Пусть <math> Y(z) </math> z-преобразование одного из компонентов. Перед кодированием он прореживается вдвое, а перед восстановлением исходного сигнала доводится до исходной длины вставкой нулей между соседними значениями. При этом z-преобразование из <math> Y(z) </math> превращается в <math> \frac{1}{2}(Y(z) + Y(-z)) </math>. Подставим сюда фильтр упомянутый выше для каждого из фильтров, и получим z-преобразованный компонент перед восстановлением:
<math> X_H(z) \longrightarrow \frac{1}{2}(H(z)X(z) + H(-z)X(-z)) </math>
<math> X_G(z) \longrightarrow \frac{1}{2}(G(z)X(z) + G(-z)X(-z)) </math>
z-преобразования транспонированных фильтров имеют вид <math> H(z^{-1}) </math> и <math> G(z^{-1}) </math>. Сигнал восстановится с их помощью точно, если:
<math> X(z) = [\frac{1}{2}(H(z^{-1})H(z)G(z^{-1})G(z)X(z)) </math> <math> + \frac{1}{2}(H(z^{-1})H(z)G(z^{-1})G(z)X(-z))] </math>
Получаем условия точного восстановления (Perfect reconstruction,Шаблон:Ref-en)
<math> H(z^{-1})H(z) + G(z^{-1})G(z) = 2 </math>
<math> H(z^{-1})H(-z) + G(z^{-1})G(-z) = 0 </math>
В матричной форме они записываются так:
<math>M(z)(M(z^{-1}))^t </math> =
<math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{bmatrix}
\end{align}
</math>
<math> = 2E</math>
где
<math> \begin{align} \begin{bmatrix} H(z) & G(z) \\ H(-z) & G(-z) \\ \end{bmatrix} \end{align} </math>
подставив <math>z=e^{iw}</math>, получим условия ДПФ искомых фильтров:
- <math> \left\vert H(w)\right\vert ^2 + \left\vert G(w)\right\vert ^2 \equiv 2 </math>
- <math> H(w)H(w + \Pi) + G(w)G(w + \Pi) </math>
допустим, что мы нашли <math> h </math> такой что:
- <math> \left\vert H(w)\right\vert ^2 + \left\vert G(w + \Pi)\right\vert ^2 \equiv 2 </math>
- <math> G(w) = -e^{iw}H(w + \Pi) </math>
История создания
C. Galand был мотивирован тем, что есть возможность улучшение цифрового телефона, технология которого включает в себя передачи речевых сигналов в виде последовательностей 0 и 1. Но как заметил Galand, эти методы выходят далеко за рамки цифровой речи, так как факсимильная связь видео, базы данных, и многие другие формы информации используют телефонные линии для передачи информации. В настоящее время количество битов, которое используется для телефонной передачи составляет хорошо известные 64 килобита в секунду. Galand пытался, использовать методы кодирования для передачи речи значительно ниже этого стандарта, которые адаптированы к речевым сигналам[1].
Применение
Квадратурный зеркальный фильтр позволяет избежать последствий сглаживания из-за прореживанья образцов, когда сигнал разделён на поддиапазоны. Каждый поддиапазон затем кодируются независимо с использованием компандирования импульсно-кодовой модуляции квантователей. Поэтому переменное число бит отводится для каждого поддиапазонного квантователя для того, чтобы воспользоваться относительного последствия ошибки квантования.
Квадратурный зеркальный фильтр широко используется в областях обработки сигналов, таких как:
- Поддиапазонное кодирование речи[4]
- Обработка изображения[5],
- Обработка речи[6]
- Сжатия изображения[7],
- Выравнивание каналов беспроводной связи, кодирование источника для аудио и видео сигналов,
- Дизайн вейвлетных базисов[8],
- Поддиапазонное подавление эха и дискретная системы многотоновой модуляции
См. также
Ссылки
- Леонид Левкович-Маслюк, Антон Переберин Введение в вейвлет-анализ Шаблон:WaybackШаблон:Ref-ru
- S. K. Agrawal and O. P. Sahu, Two-Channel Quadrature Mirror Filter Bank: An Overview Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- Amrita Khera, Mr.Sachin bandewaer, Mr. Anand kumar singh, QMF FILTER DESIGN USING FOURIER AND WAVELET TRANSFORM Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- Suverna Sengar, Dr. Partha Pratim Bhattacharya, Design and Performance Evaluation of a Quadrature Mirror Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
- Jean-Pierre Renard, Henri Leich, Design of pseudo-quadrature mirror filter bank for high quality subband codingШаблон:Ref-en
- Anamika Jain, Aditya Goel, Unconstrained Optimization Method to Design Two Channel Quadrature Mirror Filter Banks for Image CodingШаблон:Ref-en
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Wavelets: Tools for Science and Technology By Stéphane Jaffard, Yves Meyer, Robert D. Ryan, Chapter 3
- ↑ "Введение в вейвлет-анализ", Леонид Левкович-Маслюк, Антон Переберин, 9-я Международная Конференция по Компьютерной Графике и Машинному Зрению ГрафиКон’99
- ↑ Fundamentals of Wavelets - Theory, Algorithms, and applications, 2nd Edition, by Jaideva C.Goswami and Andrew K.Chan, pg 198.
- ↑ D. Esteban, C. Galand. “Application of quadrature mirror filter to split band voice coding schemes”. Proc. IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ASSP), pp. 191–195, 1977.
- ↑ M.J.T. Smith, S.L. Eddins. “Analysis/synthesis techniques for sub-band image coding”. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process: ASSP-38, pp.1446–1456, (8)1990
- ↑ J.W. Woods, S.D. O’Neil. “Sub-band coding of images”. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process.: ASSP-34, pp.1278–1288, (10) 1986
- ↑ T.D. Tran, T.Q. Nguyen. “On M-channel linear phase FIR filter banks and applications in image compression”. IEEE Trans. Signal Process.45, pp.2175–2187, (9)1997.
- ↑ S.C. Chan, C.K.S. Pun, K.L. Ho, “New design and realization techniques for a class of perfect reconstruction two-channel FIR filter banks and wavelet bases,” IEEE Trans. Signal Process. 52, pp.2135–2141, (7) 2004
