Русская Википедия:Квадрирование квадрата
Квадри́рование квадра́та — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов. В более узком смысле — задача о разбиении квадрата на конечное число попарно неравных между собой квадратов.
В 1936—1938 годах её решили четверо студентов Тринити-колледжа Кембриджского университета[1].
Все квадраты в любом решении данной задачи имеют соизмеримые по длине стороны.[2]
Терминология
- Квадрат, разбитый на попарно неравные квадраты, называется совершенным[1].
- Порядком квадрата, разбитого на составные квадраты, называется число составляющих его квадратов.
- Разбиение квадрата, никакое подмножество квадратов которого не образует прямоугольник (не считая отдельных квадратов), называется простым.
История
- Вопрос о возможности разбиения квадрата на неравные квадраты был записан в Шотландской книге Станиславом Рузевичем под номером 59[3] в 1935-м году.
- Самые первые найденные Бруксом, Смитом, Стоуном и Таттом совершенные квадраты были 69-го порядка.
- В 1939 году Р. Шпраг (R. Sprague) нашёл совершенный квадрат 55-го порядка, это было первое опубликованное решение для совершенного квадрата[4].
- Позднее Т. Г. Уиллкокс (T. H. Willcocks) нашёл совершенный квадрат 24-го порядка, который долгое время держал рекорд малости порядка.
- В 1978 году голландский математик А. Й. В. Дёйвестейн (A. J. W. Duijvestijn) с помощью компьютера нашёл разбиение квадрата на 21 квадрат, среди которых нет равных (см. рис.). Он также доказал следующие утверждения:
- Не существует совершенного квадрата меньшего порядка.
- Найденное им разбиение — единственно возможное для разбиения 21-го порядка.
Диаграмма Смита
Ключевую роль в решении задачи квадрирования сыграло предложение, сделанное Бруксом, Смитом, Стоуном и Татом в 1936—1938 годах[1] для анализа диаграммы, названной диаграммой Смита, которая любому разбиению квадрата (или прямоугольника) ставит в соответствие электрическую цепь. Это позволило применять для решения задачи квадрирования хорошо разработанную теорию электрических цепей.
Можно считать, что прямоугольник это проводник сделанный из фольги с постоянным удельным сопротивлением. Если вдоль оснований подключён ток, то сопротивление прямоугольника прямопропоционально высоте и обратно пропорционально ширине прямоугольника. Поэтому можно считать что сопротивление любого квадрата единица.
Каждому горизонтальному отрезку на схеме разбиения квадрата соответствует «клемма» этой цепи, а каждому квадрату разбиения — проводник, соединяющий две «клеммы». Сила тока, текущего по проводнику, равна длине стороны соответствующего квадрата. Поскольку можно считать, что сопротивление каждого квадрата равно единице, такая электрическая цепь ведёт себя как «настоящая»; в частности, подчиняется правилам Кирхгофа для токов в цепи.
Число квадрированных квадратов
| <math>n</math> | Число простых совершенных квадратов порядка <math>n</math> |
<math>n</math> | Число простых совершенных квадратов порядка <math>n</math> |
|---|---|---|---|
| 21 | 1 | 28 | 3001 |
| 22 | Шаблон:Num1 | 29 | 7901 |
| 23 | Шаблон:Num1 | 30 | 20 566 |
| 24 | Шаблон:Num1 | 31 | 54 541 |
| 25 | Шаблон:Num1 | 32 | 144 161 |
| 26 | 441 | 33 | 378 197[5] |
| 27 | 1152 |
Число простых совершенных квадрированных квадратов порядка Шаблон:Mvar Шаблон:Нп5 симметрий указано в последовательности A006983 в OEIS[6].
В 2013 году было найдено число квадратов порядка 32 (Шаблон:Num)[6][5].
В июне 2014 года Джим Уильямс (Jim Williams) получил все Шаблон:Num простых совершенных квадрированных квадратов порядка 33[5]. Шаблон:-
Кубирование куба
«Кубирование куба», то есть разбиение куба на конечное число попарно неравных между собой кубов, невозможно. Доказательство этого факта было дано Бруксом, Смитом, Стоуном и Таттом.
Гиперкубирование гиперкуба
Также легко доказывается теорема о невозможности «гиперкубирования гиперкуба» для гиперкубов любой размерности, большей 3-х. Действительно, для любой размерности n гиперкубы разбиения, прилегающие к какой-либо (n − 1)-мерной гиперграни исходного гиперкуба, должны разбивать эту гипергрань на конечное число попарно неравных (n − 1)-мерных гиперкубов. При n = 4 «гиперкубирование» невозможно, так как должно порождать «кубирование» 3-мерных гиперграней исходного 4-мерного гиперкуба. Индукцией по n можно сделать заключение о невозможности «гиперкубирования» для всех n > 3.
Ссылки
Литература
- Гарднер М., Математические головоломки и развлечения. Пер. с английского Ю. Данилова. Изд. «Оникс», Москва, 1994, стр. 305—326.
- Яглом И. М. Как разрезать квадрат Шаблон:Wayback серия «Математическая библиотечка» М., Наука, 1968—112 с.
- Bouwkamp C. J., Duijvestijn A. J. W. Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of Orders 21 Through 25, Eindhoven Univ. Technology, Dept. of Math., Report 92-WSK-03, Nov. 1992.
- Bouwkamp C. J., Duijvestijn A. J. W. Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26, Eindhoven University of Technology, Faculty of Mathematics and Computing Science, EUT Report 94-WSK-02, December 1994.
- Brooks, R. L., Smith C. A. B., Stone, A. H., Tutte, W. T. The Dissection of Rectangles into Squares, Duke Math. J. 7, 312—340, 1940
- Gardner Martin, Squaring the square, in The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
- Meschkowski H. Unsolved and Unsolvable Problems in Geometry, Oliver and Boyd, 1966, Edinburgh, pp. 9—102.
- Stein S. Mathematics: The Man-Made Universe, (2nd ed.) Freeman and Co., 1969, San Francisco, pp. 92—124.
- Tutte W. Squaring the Square, Canadian journal of Mathematics, 1950, pp.197—209.
- Tutte W. The Quest of the Perfect Square, The American Mathematical Monthly, 1965, Vol. 72, No. 2, pp. 29—35.
Примечания
Ссылки
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокmultipleне указан текст - ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокScottish bookне указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокШпрагне указан текст - ↑ 5,0 5,1 5,2 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокsquaring.net-spssне указан текст - ↑ 6,0 6,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокoeis-a006983не указан текст
Шаблон:Выбор языка Шаблон:Геометрические мозаики
