Русская Википедия:Квазианалитическая функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке (например, на границе области). Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций (см. Комплексный анализ), то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как его расширениеШаблон:Sfn.

Определения

Функции одной переменной

Один из многих определяющих признаков аналитической функции: пусть функция <math>f(x)</math> неограниченно дифференцируема во всех точках отрезка <math>[a,b]</math> и пусть существует число <math>A</math> (зависящее от функции) такое, что для всех точек <math>x \in [a,b]</math> выполняется неравенство:

Шаблон:Формула

Тогда функция <math>f(x)</math> аналитическая (обратная теорема также верна)Шаблон:Sfn.

Жак Адамар в 1912 году предложил обобщить приведенное неравенство, заменив последовательность <math>n!</math> на последовательность общего вида <math>M=\{M_k\}_{k=0}^\infty</math> положительных вещественных чисел. Он определил на интервале [a,b] класс функций C^M([a,b]) следующим образом: Шаблон:Рамка Всякая функция <math>f</math> из класса неограниченно дифференцируема (f ∈ C^∞([a,b])), причём во всех точках x ∈ [a,b] и для всех <math>k\geqslant 0</math> выполняется условие:

Шаблон:Формула

где A — некоторая константа (зависящая от функции). |}

Если взять последовательность M_k =1, то, согласно сказанному в начале раздела, мы получим в точности класс обычных вещественных аналитических функций на интервале [a,b].

Шаблон:Рамка Класс C^M([a,b]) называется квазианалитическим, если для всякой функции f ∈ C^M([a,b]) выполнено условие однозначности: если <math>\frac{d^k f}{dx^k}(x) = 0</math> в некоторой точке x ∈ [a,b] для всех k, то f тождественно равна нулю. |}

Элементы квазианалитического класса называются квазианалитическими функциями. Приведенное условие означает, что две функции, совпадающие в некоторой точке вместе со всеми своими производными, совпадают всюду. Другими словами, значения функции на произвольно малом участке полностью определяют все её значения.

Функции нескольких переменных

Для функции <math>f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> и для набора индексов <math>j=(j_1,j_2,\ldots,j_n)\in\mathbb{N}^n</math> обозначим:

<math>|j|=j_1+j_2+\ldots+j_n</math>

<math>D^j=\frac{\partial^j}{\partial x_1^{j_1}\partial x_2^{j_2}\ldots\partial x_n^{j_n}}</math>

<math>j!=j_1!j_2!\ldots j_n!</math>

<math>x^j=x_1^{j_1}x_2^{j_2}\ldots x_n^{j_n}.</math>

Тогда <math>f</math> называется квазианалитической в открытой области <math>U\subset\mathbb{R}^n,</math> если для каждого компактного <math>K\subset U</math> существует константа <math>A</math> такая, что:

<math>\left|D^jf(x)\right|\leqslant A^{|j|+1}j!M_{|j|}</math>

для всех индексов из набора <math>j\in\mathbb{N}^n</math> и во всех точках <math>x\in K</math>.

Класс квазианалитических функций от <math>n</math> переменных по отношению к последовательности <math>M</math> на множестве <math>U</math> можно обозначить <math>C_n^M(U)</math>, хотя в источниках встречаются и другие обозначения.

Квазианалитические классы для логарифмически выпуклых последовательностей

Предположим, что в приведенном выше определении <math>M_1=1</math> и последовательность <math>M_k</math> неубывающая. Эта последовательность называется логарифмически выпуклой, если выполняется условие:

Последовательность <math>{M_{k+1} \over M_k}</math> возрастает.

Если последовательность <math>M_k</math> логарифмически выпукла, то:

<math>(M_k)^{1/k}</math> также возрастает.

<math>M_rM_s\leqslant M_{r+s}</math> для всех <math>(r,s)\in\mathbb{N}^2</math>.

Для логарифмически выпуклой <math>M</math> квазианалитический класс <math>C_n^M</math> представляет собой кольцо. В частности, он замкнут относительно умножения и композиции. Последнее означает:

Если <math>f=(f_1,f_2,\ldots f_p)\in (C_n^M)^p</math> и <math>g\in C_p^M</math>, то <math>g\circ f\in C_n^M</math>.

Теорема Данжуа — Карлемана

Теорема Данжуа — Карлемана была сформулирована и частично решена Арно Данжуа (Шаблон:Harvtxt) и полностью доказана в работе Торстена Карлемана (Шаблон:Harvtxt). Эта теорема предоставляет критерий для решения вопроса, при каких последовательностях M функции C^M([a,b]) образуют квазианалитический класс.

Согласно теореме, следующие утверждения равносильны:

• C^M([a,b]) — квазианалитический класс.
• <math>\sum 1/L_j = \infty,</math> где <math>L_j= \inf_{k\ge j}(k\cdot M_k^{1/k})</math>.
• <math>\sum_j(jM_j^*)^{-1/j} = \infty,</math> где M_j^* — наибольшая логарифмически выпуклая последовательность, ограниченная сверху M_j.
• <math>\sum_j\frac{M_{j-1}^*}{(j+1)M_j^*} = \infty.</math>

Для доказательства того, что утверждения 3, 4 равносильны 2-му, используется неравенство Карлемана.

Пример: Шаблон:HarvtxtШаблон:Sfn указал, что если <math>M_n</math> заданы одной из последовательностей

<math>1,\, {(\ln n)}^n,\, {(\ln n)}^n\,{(\ln \ln n)}^n,\, {(\ln n)}^n\,{(\ln \ln n)}^n\,{(\ln \ln \ln n)}^n, \dots,</math>

то соответствующий класс квазианалитический. Первая последовательность (из единиц) дает обычные аналитические функции.

Дополнительные свойства

Для логарифмически выпуклой последовательности <math>M</math> имеют место следующие свойства соответствующего класса функций.

• <math>C^M</math> совпадает с классом аналитических функций тогда и только тогда, когда <math>\sup_{j\geq 1}(M_j)^{1/j}<\infty</math>.
• Если <math>N</math> — другая логарифмически выпуклая последовательность, у которой <math>M_j\leqslant C^j N_j</math> (здесь <math>C</math> — некоторая константа), то <math>C^M\subset C^N</math>.
• <math>C^M</math> устойчиво по отношению к дифференцированию тогда и только тогда, когда <math>\sup_{j\geq 1}(M_{j+1}/M_j)^{1/j}<\infty</math>.
• Для любой неограниченно дифференцируемой функции <math>f</math> можно найти квазианалитические кольца <math>C^M</math> и <math>C^N</math> и элементы <math>g\in C^M, h\in C^N</math> такие, что <math>f=g+h</math>.

Деление по Вейерштрассу

Определение. Функция <math>g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> называется регулярной порядка <math>d</math> по отношению к <math>x_n</math>, если <math>g(0,x_n)=h(x_n)x_n^d</math> и <math>h(0)\neq 0</math>.

Пусть <math>g</math> — регулярная функция порядка <math>d</math> по отношению к <math>x_n</math>. Говорят, что кольцо <math>A_n</math> вещественных или комплексных функций от <math>n</math> переменных удовлетворяет делению Вейерштрасса по отношению к <math>g</math>, если для каждой <math>f\in A_n</math> существуют <math>q\in A</math> и <math>h_1,h_2,\ldots,h_{d-1}\in A_{n-1}</math> такие, что:

<math>f=gq+h</math>, где <math>h(x',x_n)=\sum_{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_n^j</math>.

Пример: кольцо аналитических функций и кольцо формальных степенных рядов оба удовлетворяют свойству деления Вейерштрасса. Если, однако, <math>M</math> логарифмически выпукло и <math>C^M</math> не совпадает с классом аналитических функций, то <math>C^M</math> не удовлетворяет свойству деления Вейерштрасса по отношению к <math>g(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1+x_2^2</math>.

История

Ключевой вопрос данной темы — способность аналитической функции однозначно восстанавливать свой «глобальный облик» по значениям самой функции и её производных в произвольной регулярной точкеШаблон:Sfn. Эмиль Борель первым обнаружил, что это свойство имеет место не только для аналитических функций.

В 1912 году Жак Адамар сформулировал вопрос: какой должна быть последовательность <math>M_n,</math> чтобы приведенное выше «условие однозначности» выполнялось для любой пары функций из соответствующего класса. Арно Данжуа в 1921 году привёл достаточные условия квазианалитичности и ряд примеров квазианалитичных классов (см. Шаблон:Harvtxt). Полное решение проблемы дал пять лет спустя Торстен Карлеман (см. Шаблон:Harvtxt), установивший необходимые и достаточные условия квазианалитичности.

В дальнейшем С. Н. Бернштейн и Ш. Мандельбройт обобщили понятие квазианалитичности на классы недифференцируемых и даже разрывных функций. Простейший пример — совокупность решений линейного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами; функции, входящие в это решение, вообще говоря, не обладают бесконечным числом производныхШаблон:Sfn..

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей. Применения, пер. с франц., М.: Иностранная литература, 1955.
• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-fr
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Citation