Русская Википедия:Квазигруппа (математика)
Шаблон:Другие значения Квазигруппа — магма, в которой всегда возможно деление. В отличие от группы, квазигруппа не обязана быть ассоциативной[1] и не обязана иметь нейтральный элемент. Любая ассоциативная квазигруппа с определенным на ней нейтральным элементом является группой.
Определения и свойства
Квазигруппой называют пару (Q, *) из непустого множества Q с бинарной операцией * : Q × Q → Q, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что
- a * x = b
- y * a = b
Решения этих уравнений иногда записывают так:
- x = a \ b
- y = b / a
Операции \ и / называют левым делением и правым делением.
Квазигруппу с единицей называют также лупой (от Шаблон:Lang-en — петля).
Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (то есть они равномощны как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что
- (x, y) = [xA, yB]C
(здесь (,) и [ , ] — операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.
Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то эта лупа является группой. В более общем случае: если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны некоторой группе. Изотопия, в некоторомШаблон:Каком? смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.
Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы.
Квазигруппа называется полностью антисимметричной, если выполняются ещё два свойства[2]:
- если для некоторых a и b из квазигруппы оказалось, что a * b = b * a, то a = b;
- если для некоторых a, b и c из квазигруппы оказалось, что ( a * b ) * c = ( a * c ) * b, то b = c.
В 2004 году М. Дамм представил примеры полностью антисимметричных квазигрупп, что явилось значительным математическим достижением XXI века[2].
Полностью антисимметричные квазигруппы (квазигруппы Дамма) используются в кодах, распознающих ошибку (алгоритм Дамма)[2].
Примеры
- Любая группа является также и квазигруппой, так как a * x = b <math> \Leftrightarrow </math> x = a−1 * b, y * a = b <math> \Leftrightarrow </math> y = b * a−1.
- Целые числа (<math>\mathbb{Z}</math>) с операцией вычитания (−) являются квазигруппой.
- Ненулевые рациональные числа <math>\mathbb{Q}</math> (или вещественные — <math>\mathbb{R}</math>) с операцией деления (÷) являются квазигруппой.
- Множество {±1, ±i, ±j, ±k}, где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются так же, как в кватернионах, является квазигруппой с единицей (лупой).
- Любое векторное пространство над полем вещественных чисел относительно операции x * y = (x + y) / 2 образует структуру идемпотентной коммутативной квазигруппы.
Примечания
Литература
- Белоусов В. Д. «Основы теории квазигрупп и луп» Шаблон:Wayback — Шаблон:М: Наука, 1967. — 224с.
- Sabinin L.V. Smooth quasigroups and loopsШаблон:Недоступная ссылка — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. — 257p
- Сабинин Л. В. Аналитические квазигруппы и геометрия — М.: УДН, 1991. — 112с.
- Сабинин Л. В., Михеев П. О. Теория гладких луп Бола. — М.: Издательство УДН, 1985. — 81с.
- «Квазигруппы и лупы» (вып. 51). Валуцэ И. И. (ред.) и др. Сборник научных работ. Кишинёв: Штиинца, 1979. — 168с.
- Белоусов В. Д. Аналитические сети и квазигруппы — Кишинёв: Штиинца, 1971. — 168с.
- Михеев П. О., Сабинин Л. В. Гладкие квазигруппы и геометрия Шаблон:Wayback. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., Том 20. — М.: ВИНИТИ, 1988. 75-110.]
- Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969—1970 учебного года — М.: Наука, 1974. — 160с. Параграфы 5 и 6.
- Галкин В. М. Квазигруппы в сборнике статей Алгебра, топология, геометрия. Том 26, 1988 г.Итоги науки и техн. Сер. Алгебра, топол., геом. Том 26. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-44.
- ↑ Л. В. Сабинин, «Однородные пространства и квазигруппы», Изв. вузов. Матем., 1996, № 7, 77-84
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Шаблон:Статья
