Русская Википедия:Квазиклассическое приближение
Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) — самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х. А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году независимо друг от друга. В 1923 году математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель, и Крамерс, и Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу.
В некотором смысле исторически квазиклассическое приближение предшествовало методу ВКБ и понятию волновой функции вообще: т. н. «старая квантовая теория» изучала тот же предельный случай эмпирически в 1900—1925 гг.
Вывод
Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:
- <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)</math>
которое можно переписать в виде
- <math>\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \Psi(x)</math>
мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ
- <math>\Psi(x) = e^{\Phi(x)}</math>
Φ должна удовлетворять уравнению
- <math>\Phi(x) + \left[\Phi'(x)\right]^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)</math>
где <math>\Phi'</math> означает производную от <math>\Phi</math> по x. Разделим <math>\Phi'(x)</math> на действительную и мнимую части, вводя действительные функции A и B:
- <math>\Phi'(x) = A(x) + i B(x)</math>
Тогда амплитуда волновой функции <math>e^{\int^x A(x')dx'}</math>, а фаза — <math>{\int^x B(x')dx'}</math>. Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения, которым должны удовлетворять эти функции:
- <math>A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \;</math>
- <math>B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0. \;</math>
Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням <math> \hbar </math>. Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого <math> \hbar ^ {-1} </math>, чтобы удовлетворить действительной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка, насколько это возможно.
- <math>A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i A_i(x)</math>
- <math>B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i B_i(x)</math>
С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде
- <math>A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)</math>
- <math>A_0(x) B_0(x) = 0</math>
Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить <math>A_0(x) = 0</math> и получить
- <math>B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }</math>
Это верно только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим
- <math>\Psi(x) \approx C \frac{ e^{i \int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}</math>
С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой, мы положим <math>B_0(x) = 0</math> и получим
- <math>A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }</math>
Это верно, если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим
- <math>\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}</math>
Это очевидно, что из-за знаменателя оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где <math> E = V (x) </math> и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне — фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.
Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота.
Обозначим классическую точку поворота <math>x_1</math>. Вблизи <math>E=V(x_1)</math>, можно разложить <math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)</math> в ряд.
- <math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1 (x - x_1) + U_2 (x - x_1)^2 + \cdots</math>
Для первого порядка получим
- <math>\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = U_1 (x - x_1) \Psi(x)</math>
Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом:
- <math>\Psi(x) = \sqrt{x - x_1} \left( C_{+\frac{1}{3}} J_{+\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) + C_{-\frac{1}{3}} J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) \right)</math>
Используя асимптотики данного решения, можно найти отношения между <math>C,\theta</math> и <math>C_{+},C_{-}</math>:
- <math>C_{+} = \frac{1}{2} C \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}</math>
- <math>C_{-} = - C \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}</math>
Что завершает построение глобального решения.
Литература
- Покровский В. Л. Квазиклассическое приближение. Шаблон:Wayback // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
- ВКБ-метод. Шаблон:Wayback // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
