Русская Википедия:Квантование Дирака
Квантова́ние Дира́ка — эвристический аргумент, предложенный П. Дираком и показывающий, что однозначность предсказаний квантовой механики с электрическими зарядами может быть сохранена в теории, включающей магнитные монополи, лишь при условии совместного квантования магнитного и электрического зарядов.
Вывод условия квантования Дирака для магнитного монополя
Поле, создаваемое магнитным монополем, может быть описано 4-векторным потенциалом Шаблон:Math, если допустить существование скачка Шаблон:Math на некоторой (произвольной) поверхности Шаблон:Math, проходящей через магнитный монополь и делящей пространство на две связные части[1]. При этом напряжённость магнитного поля непрерывна на поверхности Шаблон:Math всюду, кроме точки расположения магнитного монополя, а сама поверхность может быть произвольным образом деформирована с помощью калибровочных преобразований. Циркуляция скачка Шаблон:Math по любому контуру, лежащему на Шаблон:Math и охватывающему магнитный монополь, равна магнитному потоку, исходящему из магнитного монополя, то есть (согласно теореме Гаусса) его магнитному заряду Шаблон:Math. Контурный интеграл от 4-вектора Шаблон:Math даёт вклад в фазу Шаблон:Math волновой функции пробной частицы с электрическим зарядом Шаблон:Math, и скачок Шаблон:Math, соответствующий скачку Шаблон:Math на поверхности Шаблон:Math, равен <math> \Delta \varphi = eg/\hbar c .</math> При выполнении условия Дирака <math> \Delta \varphi = 2 \pi n,</math> так что волновая функция непрерывна во всём пространстве. К тому же скачок Шаблон:Math не даёт вклада в напряжённость магнитного поля, которая определяется законом Кулона, поэтому поверхность Шаблон:Math ненаблюдаема. В качестве этой поверхности можно выбрать уходящий на бесконечность конус, в вершине которого находится магнитный монополь, а угол при вершине сколь угодно мал («струна» или «нить» Дирака).
Можно показать, что эффект магнитного монополя сводится к замене <math>l(l+1)</math> на <math>l(l+1) - 1/4n^2</math> (Шаблон:Math — целое число в условии Дирака) в центробежном потенциале радиального уравнения Шрёдингера[2], при этом орбитальный угловой момент <math>l</math> может принимать значения
- <math>l_n = \frac {1}{2}|n|; \frac {1}{2}|n|+1; \frac {1}{2}|n|+2;... </math>
- <math>l_1 = 1/2; 3/2; 5/2;...</math> при <math>n = 1,</math>
- <math>l_2 = 1; 2; 3;...</math> при <math>n = 2,</math>
- <math>l_3 = 3/2; 5/2; 7/2;...</math> при <math>n = 3,</math>
- <math>l_4 = 2; 3; 4;...</math> при <math>n = 4.</math>
Заметим, что при нечётном Шаблон:Math система из двух бесспиновых частиц благодаря ненулевой дивергенции магнитного поля обладает полуцелым угловым моментом. Таким образом, из двух бозонов с ненулевыми полными электрическими и магнитными зарядами образуется дион (частица, несущая одновременно электрический и магнитный заряды), подчиняющийся статистике Ферми — Дирака, т.е. фермион. Аналогично связанное состояние бозона и фермиона может быть бозоном.
Примечания
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья (Русский перевод: Обобщенные шаровые функции и волновые функции электрона в поле магнитного полюса // Тамм И. Е.. Собрание научных трудов (Том 1), М., Наука, 1975.)
