Русская Википедия:Квантовая плоскость

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Определение

Пусть <math>q</math> — обратимый элемент поля <math>\mathbb{K}</math>, <math>I_q</math> — двусторонний идеал свободной алгебры <math>\mathbb{K}\{x,y\}</math>, порождённый элементом <math>yx - q xy</math>.

Квантовой плоскостью называется фактор-алгебра <math>\mathbb{K}_q[x,y] = \mathbb{K}\{x,y\}/I_q</math>.

Пусть <math>R</math> — алгебра над полем <math>\mathbb{K}</math>. Тогда пара <math>(X,Y)</math> элементов из <math>R</math>, удовлетворяющая соотношению <math>YX = q XY</math> называется R-точкой квантовой плоскости. Имеет место естественная биекция

<math>Hom_{Alg}(\mathbb{K}_q[x,y], R) \cong \{(X,Y) \in R \times R : YX=qX\}</math>.

Свойства

1. Пусть <math>\alpha</math> — автоморфизм алгебры многочленов <math>\mathbb{K}[x]</math>, т.ч. <math>\alpha(x) = q x</math>. Тогда алгебра <math>\mathbb{K}_q[x,y]</math> изоморфна расширению Оре <math>\mathbb{K}[x][y, \alpha, 0]</math>.
2. Пусть <math>x</math> и <math>y</math> — переменные, подчинённые соотношению квантовой плоскости <math>yx=qxy</math>. Для <math>n \in \mathbb{N}</math> положим <math>(n)_q = 1 + q + ... + q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}</math>. Определим q-факториал числа <math>n</math>, полагая <math>(0)!_q=1, \text{ } (n!)_q = (q)_1 (2)_q...(n)_q = \frac{(q-1)(q^2-1)...(q^n-1)}{(q-1)^n}</math>. Определим многочлен Гаусса для <math>0 \leq k \leq n</math> по формуле <math>\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}_q = \frac{(n)!_q}{(k!)_q (n-k)!_q}</math>. Тогда выполняется равенство:<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}_q x^k y^{n-k}</math>.

Примеры

1. Пусть <math>M(2)</math> — алгебра матриц <math>2 \times 2</math>, <math>x</math> и <math>y</math> — переменные, подчинённые соотношению квантовой плоскости <math>yx=qxy</math>, <math>a,b,c,d</math> — переменные, коммутирующие с <math>x</math> и <math>y</math>. Определим <math>x', y', x, y</math>матричными соотношениями: <math>\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \text{ и }\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & c \\ b & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}</math>. Тогда можно показать эквивалентность между двумя соотношениями квантовой плоскости <math>y'x'=q x'y' \text{ и }yx=qxy</math>и шестью соотношениями <math>ba = q ab, \text{ }ca = q ac,\text{ } bc = cb,</math><math>db=qbd,\text{ } dc = qcd, \text{ }ad-da = (q^{-1}-q)bc</math>. Определим алгебру <math>M_q(2)</math> как фактор-алгебру свободной алгебры <math>\mathbb{K}\{a,b,c,d \}</math>по двустороннему идеалу <math>J_q</math>, порождённому шестью соотношениями выше. Построенная алгебра <math>M_q(2)</math> является q-аналогом алгебры <math>M(2)</math>.

Литература

• Кассель К. «Квантовые группы».