Русская Википедия:Квантовая яма с бесконечными стенками

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ква́нтовая я́ма с бесконе́чными сте́нками (Бесконечная прямоугольная потенциальная яма) — область пространства размером порядка длины волны де Бройля рассматриваемой частицы (хотя бы в одном направлении), вне которой потенциальная энергия <math>U</math> бесконечна. Иногда данную область называют «ящиком» (Шаблон:Lang-en).

Для демонстрации основных черт поведения частицы в яме удобны такие профили потенциальной энергии, при которых движение происходит независимо по трём декартовым координатам и переменные в уравнении Шрёдингера разделяются. Часто анализируется прямоугольная область по всем измерениям (прямоугольный «ящик»), а потенциальная энергия в нём полагается нулевой.

Могут быть рассмотрены системы с ограничением движения частицы по одной координате (собственно яма), по двум (квантовый провод) или по трём (квантовая точка). При ограничении по одной координате «ящик» представляет собой плоскопараллельный слой, а обращение <math>U</math> в бесконечность математически отражают в граничных условиях, считая, что волновые функции равны нулю на концах соответствующего отрезка. При ограничении по нескольким координатам на границах ставятся граничные условия Дирихле.

Одномерная потенциальная яма с бесконечными стенками

Потенциал одномерной потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет вид

<math>U(x) = \begin{cases}

0, & x \in (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}),\\ \infty, & x \notin (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}) \end{cases}</math> Стационарное уравнение Шрёдингера на интервале <math>\left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)</math>

<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \Psi(x)=E\Psi(x).</math>

С учётом обозначения <math>k = \sqrt{2 m E / \hbar^2}</math>, оно примет вид:

<math> \Psi(x) + k^2 \Psi(x) = 0.</math>

Общее решение удобно представить в виде линейной оболочки чётных и нечётных функций:

<math>\Psi(x) = C^+ \cos k x + C^- \sin k x.</math>

Граничные значения имеют вид:

<math>\Psi \left(-\frac{a}{2}\right) = \Psi \left(\frac{a}{2} \right) = 0.</math>

Они приводят к однородной системе линейных уравнений:

<math>\begin{cases}

C^+ \cos \frac{k a}{2} + C^- \sin \frac{k a}{2} = 0,\\ C^+ \cos \frac{k a}{2} - C^- \sin \frac{k a}{2} = 0, \end{cases}</math> которая имеет нетривиальные решения при условии равенства нулю её определителя:

<math>

- 2\cos \frac{k a}{2}\sin \frac{k a}{2} = 0, </math> что после тригонометрических преобразований принимает вид:

<math>

\sin k a = 0. </math> Корни этого уравнения имеют вид

<math>

k_{n} = \frac{\pi n}{a}, \qquad n \in \mathbb{Z}_+. </math> Подставляя в систему, имеем:

<math>C^-_n = 0, \qquad n = 2 n_0 + 1, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,</math>

<math>C^+_n = 0, \qquad n = 2 n_0 , \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+.</math>

Таким образом, решения распадаются на две серии — чётных и нечётных решений:

<math>\Psi_{n_0}^+(x) = C^+_{2 n_0 + 1} \cos \frac{(2 n_0 + 1) \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,</math>

<math>\Psi_{n_0}^-(x) = C^-_{2 n_0} \sin \frac{2 n_0 \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+.</math>

Тот факт, что решения разбиваются на чётные и нечётные связан с тем, что потенциал сам по себе является чётной функцией. С учётом нормировки

<math> \int\limits_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \left(\Psi_{n_0}^{\pm}(x)\right)^2 dx = 1,</math>

получим явный вид нормировочных множителей:

<math> C^+_{2 n_0 + 1} = C^-_{2 n_0} =\sqrt{\frac{2}{a}}.</math>

В результате получим собственные функции гамильтониана:

<math>\Psi_{n_0}^+(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \cos \frac{(2 n_0 + 1) \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,</math>

<math>\Psi_{n_0}^-(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{2 n_0 \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,</math>

с соответствующим энергетическим спектром:

<math>E^+_{n_0} = \frac{\hbar^2 \pi^2 (2 n_0 + 1)^2}{2m a^2}</math>

<math>E^-_{n_0} = \frac{\hbar^2 \pi^2 (2n_0)^2}{2m a^2}</math>

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга