Русская Википедия:Квантовая ёмкость
Квантовая ёмкость — дополнительная электрическая ёмкость между затвором и двумерным электронным газом (ДЭГ), возникающая благодаря низкой по сравнению с металлами плотностью состояний в ДЭГ. Этот термин был впервые введен Сержем Лурьи (Serge Luryi) в 1987 году[1][2] для характеристики изменения химического потенциала в инверсионных слоях кремния и ДЭГ в GaAs.
ДЭГ и затвор представляют собой обычный конденсатор с включённой последовательно квантовой ёмкостью.
Теория
Если одна из обкладок конденсатора представляет собой металл с высокой плотностью состояний, а другая, расположенный на расстоянии d, — ДЭГ с много меньшей плотностью состояний, то изменение напряжения δV на этом конденсаторе приводит к изменению электрического поля между обкладками δE, а также к сдвигу химического потенциала δμ, что можно записать в виде:
- <math>\delta V =\delta Ed +\frac{\delta \mu}{e}=\delta Ed+\frac{\partial \mu}{\partial n} \frac{\delta n}{e}.</math>
Это выражение можно переписать с учётом вариации заряда δρ=eδn и, воспользовавшись теоремой Гаусса δE=δρ/ε, где ε=εdε0 произведение диэлектрической постоянной материала диэлектрика и диэлектрической постоянной вакуума, через ёмкость, нормированную на площадь обкладок C/A=δρ/δV в упрощённом виде
- <math>\frac{A}{C} =\frac{d}{\varepsilon}+\frac{1}{e^2}\frac{\partial \mu}{\partial n}</math>
Первое слагаемое — это обратная ёмкость плоского конденсатора, а второе слагаемое связано с понятием квантовой ёмкости, которая пропорциональна плотности состояний
- <math>C_{Q} = e^2\cdot D_{2D} </math>,
где e — элементарный заряд. Если переписать ёмкость в терминах длины экранирования
- <math>\lambda = \frac{\varepsilon}{e^2}\frac{\partial \mu}{\partial n}</math>,
то выражение примет ещё более прозрачный вид
- <math>\frac{C}{A} =\frac{\varepsilon}{(d+\lambda)},</math>
поясняющий влияние конечной длины проникновения электрического поля в материал с меньшей плотностью состояний, чем у металла. Фактически расстояние между обкладками увеличивается на длину экранирования.[3]
Для ДЭГ плотность состояний равна (учтено только спиновое вырождение)[2]
- <math>D_{2D} = 4 \pi\frac{m}{h^2} \ </math>,
где <math>m</math> — эффективная масса носителей тока. Так как плотность состояний ДЭГ не зависит от концентрации, то квантовая ёмкость тоже не зависит от концентрации, хотя при учёте электрон-электронных взаимодействий квантовая ёмкость зависит от энергии[4][5].
Связь со сжимаемостью электронного газа
Шаблон:Main Для электронного газа, как и для обычного идеального газа можно ввести понятие сжимаемости K, обратная величина которой определяется как взятое с отрицательным знаком произведение объёма газа V и изменения давления P электронного газа при изменении объёма с сохранением числа частиц N:
- <math>\frac{1}{K}=-V\left(\frac{dP}{dV}\right)_{N}.</math>
Другое важное соотношение получается из теоремы Зейтца[6]:
- <math>\frac{1}{K}=n^2\frac{d\mu}{dn}.</math>
Отсюда следует, что измеряя квантовую ёмкость мы также получаем информацию о сжимаемости электронного газа.
Термодинамическая плотность состояний
Для того чтобы учесть распределение электронов по энергии (распределение Ферми — Дирака <math>f(\varepsilon-\mu)</math>) из-за конечной температуры T, вводят так называемую термодинамическую плотность состояний, определяемую как[7][8]
- <math>D(\mu)=\int^{\infty}_{-\infty}d\varepsilon N(\varepsilon)\left(-\frac{\partial f(\varepsilon)}{\partial\varepsilon}\right)=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{N(\varepsilon)d\varepsilon}{4k_BT \textrm{cosh}^2\left(\frac{\varepsilon-\mu}{2k_BT}\right)},</math>
где <math>N(\varepsilon)</math> — плотность состояний при нулевой температуре; <math>k_B</math> — постоянная Больцмана.
Графен
Для графена, где плотность состояний пропорциональна энергии, квантовая ёмкость зависит от концентрации[9]:
- <math>C_{Q} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{e^2}{\hbar v_F}\sqrt{n},</math>
где <math>\hbar</math> — редуцированная постоянная Планка; <math>v_F</math> — фермиевская скорость.
Применительно к одномерному случаю графеновых нанотрубок квантовая ёмкость на единицу длины определяется выражением[2]
- <math>C_{Q} = 2\frac{e^2}{h v_F}</math>,
где <math>h</math> — постоянная Планка.
Примечания
- ↑ Serge Luryi (1988). «Quantum capacitance devices». Appl.Phys.Lett. 52(6). Pdf Шаблон:Wayback
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Шаблон:Cite web
- ↑ G. F. Giuliani and G. Vignale Quantum theory of the electron liquid Cambridge university press, 2005.
- ↑ J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, and K. W. West Negative compressibility of interacting two-dimensional electron and quasiparticle gases Phys. Rev. Lett. 68, 674—677 (1992)
- ↑ B. Tanatar and D. M. Ceperley Ground state of the two-dimensional electron gas Phys. Rev. B 39, 5005-5016 (1989)
- ↑ G. D. Mahan Many-particle Physics 3rd edition Kluwer Academic/Plenum Publishers 2000
- ↑ M. I. Katsnelson Graphene: carbon in two dimensions Cambridge University Press 2012.
- ↑ D. L. John, L. C. Castro, and D. L. Pulfrey Quantum capacitance in nanoscale device modeling J. Appl. Phys. 96, 5180 (2004).
- ↑ L. A. Ponomarenko et al. Density of States and Zero Landau Level Probed through Capacitance of Graphene Phys. Rev. Lett. 105, 136801 (2010).
