Русская Википедия:Квантовый гармонический осциллятор
Ква́нтовый гармони́ческий осцилля́тор — физическая модель в квантовой механике, представляющая собой параболическую потенциальную яму для частицы массой <math>m</math> и являющаяся аналогом простого гармонического осциллятора. При анализе поведения данной системы рассматриваются не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полная энергия осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.
Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении
Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:
- <math>\! \hat{H} = \frac{\hat p ^2 }{2 m } + \frac{m \omega^2 \hat q ^2}{2} </math>
В координатном представлении <math>\hat p=-i\hbar\partial/\partial x </math> , <math>\hat q =x</math>. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых дифференциальное уравнение в частных производных
- <math>-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x)+\frac{m\omega^2 x^2}{2}\psi(x)=E\psi(x)</math>
имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций.
Для <math> E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)\ ,\ n = 0, 1, 2, \ldots</math>
решение имеет вид:
- <math> \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp
\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), </math>
функции <math>H_n</math> — полиномы Эрмита:
- <math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}</math>
Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна <math>\hbar\omega</math>; во-вторых, наименьшее значение энергии равно <math>\hbar\omega/2</math>. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.
Операторы рождения и уничтожения
Шаблон:Main Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.
Оператор рождения — <math>\hat{a}^+</math>, оператор уничтожения — <math>\hat{a}</math>, их коммутатор равен
- <math> [\hat{a}, \hat{a}^+] = \hat{a}\hat{a}^+ - \hat{a}^+\hat{a} = \frac{i}{\hbar} (\hat{p}\hat{q} - \hat{q}\hat{p}) = 1</math>
С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:
- <math>\hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}\right)=\hbar\omega\left(\hat{n}+\frac{1}{2}\right)</math>
где <math>\hat{n}=\hat{a}^+\hat{a}</math> — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные вектора такого гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».
Ангармонический осциллятор
Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:
- <math> \hat{H} = {\hat{p}^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \hat{q}^2 + \lambda \hat{q}^3</math>
Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.
В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования) кубическое слагаемое равно
- <math> \lambda \left({\hbar \over 2m\omega}\right)^{3\over 2} (\hat{a} + \hat{a}^+)^3. </math>
Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния <math>\left| \psi_E \right\rangle</math> равна
- <math> \Delta E^{(2)} = \lambda^2 \left\langle \psi_E \right| q^3 {1 \over E - \hbar\omega/2} q^3 \left| \psi_E \right\rangle. </math>
Многочастичный квантовый осциллятор
В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:
- <math> \hat{H} = \sum_{i=1}^N {\hat{p}_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{i<j}^{N} (\hat{q}_i - \hat{q}_j)^2 </math>
Здесь под <math> \hat{q}_i</math> и <math> \hat{p}_i</math> подразумеваются отклонение от положения равновесия и импульс <math>i</math>-той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.
Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — Бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.
Переходы под влиянием внешней силы
Под влиянием внешней силы <math>f(t)</math> квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (<math>n</math>) на другой (<math> m</math>). Вероятность этого перехода <math>W_{n,m}(t)</math> для осциллятора без затухания даётся формулой:
- <math>W_{n,m} (t) = \frac{n!}{m!} |\delta|^{2(n-m)}exp\left(-|\delta^2| \left ( L_n^{m-n} (|\delta|^2) \right )^2\right) </math>,
где функция <math> \delta(t)</math> определяется как:
- <math> \delta(t) = -i l \hbar \int\limits_0^t{f(\tau) exp(i \omega \tau) d\tau} </math>,
а <math>L_m^{m-n}</math> — полиномы Лагерра.
См. также
Литература
Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика
Шаблон:Модели квантовой механики
