Русская Википедия:Квантовый граф

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Квантовый граф — граф, в котором каждому ребру назначена длина и на каждом ребре задано дифференциальное или псевдодифференциальное уравнение.

В качестве примера может служить электрическая сеть, состоящая из проводов (рёбер), соединённых в трансформаторных подстанциях (вершинах). Дифференциальные уравнения описывают напряжение на проводах, а граничные условия на вершинах обеспечивают нулевую сумму тока на всех входящих и исходящих ребрах каждой вершины.

Впервые были применены Лайнусом Полингом в 1930-е годы для моделирования свободных электронов в органических молекулах. Впоследствии нашли широкое применение в физике[1]: в моделях систем квантового хаоса, при изучении волноводов, для моделирования перехода Андерсона в фотонных кристаллах; в мезоскопической физике квантовые графы используются для теоретического обоснования нанотехнологии. Более простое понятие квантовых графов было предложено Фридманом и другими.[2].

Помимо решения дифференциальных уравнений на квантовом графе для конкретных приложений, изучаются вопросы управляемости (какое входное воздействие обеспечивает переход системы в желаемое состояние, например, для обеспечения достаточной электрической мощности на всех подстанциях) и идентификации систем (как и где необходимо провести измерения какой-либо величины, чтобы получить необходимую информацию о состоянии системы, например, измерение давления в водопроводной системе, чтобы обнаружить утечку воды).

Метрические графы

Файл:Quantumgraph.png
Метрический граф с тремя открытыми рёбрами, реализованный на плоскости. Пунктирные линии обозначают метрическое расстояние между двумя точками <math>x</math> и <math>y</math>.

Метрический граф — граф, состоящий из множества вершин <math>V</math> и множества рёбер <math>E</math>, где каждому ребру <math>e=(v_1,v_2)\in E</math> поставлен в соответствие интервал <math>[0,L_e]</math> так, что <math>x_e</math> — координата на этом интервале, вершины <math>v_1</math> и <math>v_2</math> соответствуют <math>x_e=0</math> и <math>x_e=L_e</math>, или наоборот. Выбор того, какая вершина соответствует нулевой координате, произволен, и переназначение вершин начала и конца ребра требует только замены координат ребра. Граф обладает естественной метрикой: для двух точек <math>x, y</math> на графе, расстояние <math>\rho(x,y)</math> — длина кратчайшего пути между ними, где длина пути измеряется как сумма длин ребёр пути.

Если в комбинаторном (классическом) графе ребро всегда соединяет пару вершин, то в квантовом графе допускаются полубесконечные ребра (лучи), таким рёбрам ставится в соответствие интервал <math>[0,\infty)</math>, где единственная вершина соответствует <math>x_e=0</math>. Граф, имеющий хотя бы одно такое ребро, называется открытым.

Квантовые графы

Квантовый граф — метрический граф с заданным дифференциальным (или псевдодифференциальным) оператором, действующим на функциях на рёбрах графа. Функция <math>f</math> на метрическом графе определяется как <math>|E|</math>-кортеж функций <math>f_e(x_e)</math> на интервалах на рёбрах. Гильбертово пространство графа — <math>\bigoplus_{e\in E} L^2([0,L_e])</math>, где внутреннее произведение двух функций задано как

<math>\langle f,g \rangle = \sum_{e\in E} \int_{0}^{L_e} \overline{f_e(x_e)}g_e(x_e) \, dx_e,</math>

<math>L_e</math> может быть бесконечным в случае открытых рёбер. Простейший пример оператора на метрическом графе — оператор Лапласа. Оператор на ребре — это <math>-\frac{\textrm{d}^2}{\textrm{d} x_e^2}</math>, где <math>x_e</math> — координата ребра. Для обеспечения самосопряжённости оператора необходимо подобрать подходящую область значений, обычно для этого выбирается пространство Соболева <math>H^2</math> функций на рёбрах графа и соответствующие граничные условия на вершинах.

Простейший пример условий, обеспечивающих самосопряженность — граничные условия Дирихле <math>f_e(0)=f_e(L_e)=0</math> для каждого ребра. Собственные функции на конечных рёбрах могут быть записаны как:

<math>f_e(x_e) = \sin \left( \frac{n \pi x_e}{L_e} \right)</math>

для целого <math>n</math>. Если в графе нет открытых рёбер и длины рёбер несоизмеримы над рациональными числами, тогда носитель собственной функции лежит на одном ребре графа, и собственные значения равны <math>\frac{n^2\pi^2}{L_e^2}</math>. Условия Дирихле не позволяют учитывать взаимодействие между интервалами на ребрах, так что спектр такой же, что и на множестве независимых (несоединённых) рёбер.

Более интересными самосопряжёнными граничными условиями, позволяющими учитывать взаимодействие между рёбрами, являются граничные условия Неймана или естественные граничные условия. Функция <math>f</math> в области определения оператора непрерывна всюду на графе и сумма исходящих производных в каждой вершине равна нулю:

<math>\sum_{e\sim v} f'(v) = 0</math>,

где <math>f'(v)=f'(0)</math>, если вершина <math>v</math> соответствует <math>x=0</math>, и <math>f'(v)=-f'(L_e)</math>, если <math>v</math> соответствует <math>x=L_e</math>.

Также изучены свойства других операторов на метрических графах, например, более общий класс операторов Шрёдингера:

<math>\left( i \frac{\textrm{d}}{\textrm{d} x_e} + A_e(x_e) \right)^2 + V_e(x_e)</math>,

где <math>A_e</math> — «магнитный векторный потенциал» на ребре, <math>V_e</math> — скалярный потенциал.

Другим примером является оператор Дирака на графе, который является матричным оператором, действующим на вектор-функциях, описывающих квантовую механику частиц с собственным моментом импульса равным <math>1/2</math> (например, электрон). Оператор Дирихле — фон Неймана на графе — псевдодифференциальный оператор, который возникает при изучении фотонных кристаллов.

Основные результаты

Все самосопряженные граничные условия оператора Лапласа на графе можно классифицировать по схеме Кострикина и Шрадера. На практике, часто удобнее использовать предложенный Кучментом в 2004 году формализм[3], который позволяет сразу получить оператор в вариационной форме.

Пусть <math>v</math> это вершина с <math>d</math> выходящими рёбрами. Для удобства выберем координаты на рёбрах так, чтобы <math>v</math> соответствовала <math>x_e=0</math> для каждого ребра инцидентного <math>v</math>. Для функции <math>f</math> на графе:

<math>\mathbf{f}=(f_{e_1}(0),f_{e_2}(0),\dots,f_{e_{d}}(0))^T , \qquad \mathbf{f}'=(f'_{e_1}(0),f'_{e_2}(0),\dots,f'_{e_{d}}(0))^T</math>,

граничные условия на <math>v</math> могут быть заданы парой матриц <math>A</math> и <math>B</math> с помощью матричного уравнения:

<math>A \mathbf{f} +B \mathbf{f}'=\mathbf{0}</math>.

Граничные условия задают самосопряжённый оператор, если <math>(A, B)</math> имеет максимальный ранг <math>d</math> и <math>AB^{*}=BA^{*}</math>.

Спектр оператора Лапласа на конечном графе может быть описан с помощью матрицы рассеивания[4][5].

Собственные значения на ребре заданы:

<math>-\frac{d^2}{dx_e^2} f_e(x_e)=k^2 f_e(x_e).\,</math>

Решение на ребре может быть представлено линейной комбинацией плоских волн.

<math>f_e(x_e) = c_e \textrm{e}^{i k x_e} + \hat{c}_e \textrm{e}^{-i k x_e}</math>,

где в нестационарном уравнении Шрёдингера <math>c</math> — коэффициент выходящей плоской волны в <math>0</math>, <math>\hat{c}</math> — коэффициент входящей плоской волны в <math>0</math>. Граничные условия на <math>v</math> определяют матрицу рассеивания:

Шаблон:EF

Матрица рассеивания устанавливает отношение между векторами коэффициентов входящих и выходящих плоских волн на <math>v</math>, <math>\mathbf{c}=S(k)\hat{\mathbf{c}}</math>. Для самосопряжённых граничных условий матрица <math>S</math> унитарна. Элемент <math>\sigma_{(uv)(vw)}</math> матрицы <math>S</math> есть комплексная амплитуда перехода из направленного ребра <math>(uv)</math> на ребро <math>(vw)</math>, которое в общем случае зависит от <math>k</math>. Однако для большого класса граничных условий матрица <math>S</math> независима от <math>k</math>. Например, с граничными условиями Неймана

<math>

A=\left( \begin{array}{ccccc} 1& -1 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 1 & -1 & 0 & \dots \\ & & \ddots & \ddots & \\ 0& \dots & 0 & 1 & -1 \\ 0 &\dots & 0 & 0& 0 \\ \end{array} \right) , \quad B=\left( \begin{array}{cccc} 0& 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0& 0 & \dots & 0 \\ 1 &1 & \dots & 1 \\ \end{array} \right). </math>,

подстановка <math>A</math> и <math>B</math> в уравнение Шаблон:Eqref для <math>S</math> даёт независимые от <math>k</math> уравнения для амплитуд переходов

<math>\sigma_{(uv)(vw)}=\frac{2}{d}-\delta_{uw}.\,</math>

где <math>\delta_{uw}</math> — дельта функция Кронекера. По уравнениям для амплитуд переходов можно задать <math>2|E|\times 2|E|</math> матрицу

<math>U_{(uv)(lm)}(k)= \delta_{vl} \sigma_{(uv)(vm)}(k) \textrm{e}^{i kL_{(uv)}}.\,</math>

Матрицу <math>U</math> называют матрицой рассеяния на рёбрах и её можно представлять себе как оператор квантовой эволюции на графе. <math>U</math> унитарный оператор и действует на векторе <math>2|E|</math> коэффициентов плоских волн для графа, где <math>c_{(uv)}</math> — коэффициент плоской волны, переходящей с <math>u</math> на <math>v</math>. При распространении плоской волны от вершины <math>u</math> к вершине <math>v</math>, она получает фазу, равную <math>\textrm{e}^{i kL_{(uv)}}</math>.

Условие квантования: Собственная функция на графе может быть определена через её <math>2|E|</math> соответствующих коэффициентов плоских волн. Так как собственная функция стационарна при квантовой эволюции, условие квантования для графа может быть описано используя оператор эволюции

<math>|U(k)-I|=0.\,</math>

Собственные значения <math>k_j</math> возникают при таких <math>k</math>, при которых матрица <math>U(k)</math> имеет собственное значение равное единице. Упорядочим спектр <math>0\leqslant k_0 \leqslant k_1 \leqslant \dots</math>.

Первая формула следа для графа была выведена Ротом (1983). В 1997 Коттос и Смилански использовали условие квантования, приведенное выше, чтобы получить следующую формулу следа для оператора Лапласа на графе, когда амплитуды переходов независимы от <math>k</math>. Формула следа устанавливает связь между спектором и периодическими орбитами графа.

<math>d(k):=\sum_{j=0}^{\infty} \delta(k-k_j)=\frac{L}{\pi}+\frac{1}{\pi}

\sum_p \frac{L_p}{r_p} A_p \cos(kL_p).</math>

<math>d(k)</math> называется плотностью состояний. Правая часть формулы состоит из двух частей: гладкая часть (часть Вейля) <math>\frac{L}{\pi}</math> — среднее разделяющее собственных значений, и осциллирующая часть — сумма по всем периодическим орбитам <math>p=(e_1,e_2,\dots,e_n)</math> на графе. <math>L_p=\sum_{e\in p} L_e</math> — длина орбиты и <math>L=\sum_{e\in E}L_e</math> — полная длина графа. Для орбиты, порождённой повторением более короткой примитивной орбиты, <math>r_p</math> считает число перераспределений. <math>A_p=\sigma_{e_1 e_2} \sigma_{e_2 e_3} \dots \sigma_{e_n e_1}</math> произведение амплитуд переходов в вершинах графа на орбите.

Приложения

Файл:Naphthalene2.png
Молекула нафталина

Квантовые графы были впервые использованы Полингом для моделирования спектра свободных электронов в таких органических молекулах как нафталин ещё в 1930-х годах. В первом приближении атомы моделируются вершинами, а <math>\sigma</math>-электроны — ребрами, которые описывают структуру молекулы, к которой привязаны электроны.

Сходная проблема возникает при изучении квантовых волноводов, являющихся мезоскопическими системами — системами, размеры которых исчисляются в нанометрах. Квантовый волновод может быть представлен как утолщённый граф, в котором рёбра — тонкие трубки. Спектр оператора Лапласа на таком волноводе, при выполнении некоторых условий, сходится к спектру оператора Лапласа на графе. Понимание мезоскопических систем играет важную роль в области нанотехнологий.

В 1997 году[6] было предложено использовать квантовые графы в качестве моделей при изучении квантового хаоса. Классическое движение на графе может быть определено как вероятностная цепь Маркова, где вероятность рассеивания от ребра <math>e</math> к ребру <math>f</math> равна абсолютной величине квадрата амплитуды квантового перехода <math>|\sigma_{ef}|^2</math>. Для почти всех конечных связных квантовых графов вероятностная динамика эргодична и является перемешивающей, другими словами она хаотична.

Квантовые графы, вложенные в 2- или 3-мерное пространство, возникают при изучении фотонных кристаллов[7]. В двумерном пространстве простая модель фотонного кристалла состоит из многоугольных клеток плотного диэлектрика с узкими переходами между клетками, заполненными воздухом. Изучение основных состояний диэлектриков приводит к псевдодифференциальным операторам на графе, который соответствует узким переходам.

Периодические квантовые графы, такие как, например, решётка в <math>\R^2</math>, используются в качестве моделей для периодических системШаблон:Уточнить. Также квантовые графы были использованы для изучения феномена перехода Андерсона, где локализованные состояния возникают на рёбрах спектральных полос при наличии неупорядоченности.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite book
  2. ↑ Шаблон:Cite journal
  3. ↑ Шаблон:Cite journal
  4. ↑ Шаблон:Cite journal
  5. ↑ Шаблон:Cite journal
  6. ↑ Шаблон:Cite journal
  7. ↑ Шаблон:Cite journal
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Квантовый_граф&oldid=10105891