Русская Википедия:Квантовый дилогарифм

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Квантовый дилогарифм — это специальная функция, определяемая формулой

<math>

\phi(x)\equiv(x;q)_\infty=\prod_{n=0}^\infty (1-xq^n),\quad|q|<1 </math>

В терминах Шаблон:Не переведено 5 имеем <math>\phi(x) = E_q(x)</math> .

Пусть <math>u,v</math> — «q-коммутирующие переменные», являющиеся элементами некоторой некоммутативной алгебры и удовлетворяющие отношению Вейля <math>uv=qvu</math>Шаблон:Sfn. Тогда квантовый дилогарифм удовлетворяют тождеству Шютценбергерже[1]

<math>

\phi(u) \phi(v)=\phi(u + v) </math>

тождеству Фаддеева — ВолковаШаблон:Sfn

<math>
\phi(v) \phi(u)=\phi(u +v -vu)

</math>

и тождеству Фаддеева — КашаеваШаблон:Sfn

<math>
\phi(v) \phi(u)=\phi(u)\phi(-vu)\phi(v)

</math>

Последнее тождество является квантовым обобщением пятичленного тождества Роджерса.

Квантовый дилогарифм Фаддеева <math>\Phi_b(w)</math> определяется следующей формулой:

<math>\Phi_b(z)=\exp

\left( \frac{1}{4}\int_C \frac{e^{-2i zw }} {\sinh (wb) \sinh (w/b) } \frac{\operatorname{d}\! w}{w} \right)</math>,

где контур интегрирования <math>C </math> обходит сингулярность при t = 0 сверхуШаблон:Sfn. Та же функция может быть описана с помощью интегральной формулы Вороновича

<math>

\Phi_b(x)=\exp\left(\frac{i}{2\pi}\int_{\mathbb R}\frac{\log(1+e^{tb^2+2\pi b x})}{1+e^{t}}\operatorname{d}\! t\right). </math>

Людвиг Дмитриевич Фаддеев обнаружил квантовое пятичленное тождество

<math>\Phi_b(\hat p)\Phi_b(\hat q)

= \Phi_b(\hat q) \Phi_b(\hat p+ \hat q) \Phi_b(\hat p) </math> где <math>\hat p</math> и <math>\hat q</math> — Шаблон:Не переведено 5 (нормализованные) операторы квантового механического импульса и положения, удовлетворяющие соотношению неопределённости Гейзенберга

<math>[\hat p,\hat q]=\frac1{2\pi i},</math>

и обратное отношение

<math> \Phi_b(x)\Phi_b(-x)=\Phi_b(0)^2 e^{\pi ix^2},\quad \Phi_b(0)=e^{\frac{\pi i}{24}\left(b^2+b^{-2}\right)}. </math>

Квантовый дилогарифм находит приложение в математической физике, Шаблон:Не переведено 5 и теории Шаблон:Не переведено 5.

Точная связь между Шаблон:Не переведено 5 и <math>\Phi_b</math> выражается тождеством

<math>\Phi_b(z)=\frac{E_{e^{2\pi ib^2}}(-e^{\pi ib^2+2\pi zb})}{E_{e^{-2\pi i/b^2}}(-e^{-\pi i/b^2+2\pi z/b})}</math>,

которое выполняется при Im <math>b^2>0</math>.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:Изолированная статья Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Написание Шютценбергерже взято из статьи Фаддеева.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Квантовый_дилогарифм&oldid=10105893