Русская Википедия:Квантор
Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание. Чаще всего упоминают:
- Квантор всеобщности (обозначение: <math>\forall</math>, читается: «для любого…», «для каждого…», «для всех…» или «каждый…», «любой…», «все…»).
- Квантор существования (обозначение: <math>\exists</math>, читается: «существует…» или «найдётся…»).
- Квантор единственности (обозначение: !, читается: «…является единственным»).
В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием.
В многозначных логиках также вводятся и другие кванторы, например:
- Квантор плюральности (квантор Решера) (обозначается перевёрнутой M, читается «для большинства …»).
Примеры
Обозначим <math>P(x)</math> предикат «x делится на 9». Используя квантор всеобщности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):
- любое натуральное число кратно 9;
- каждое натуральное число кратно 9;
- все натуральные числа кратны 9;
следующим образом:
- <math>(\forall x \in \mathbb{N}) P(x)</math>.
Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:
- существуют натуральные числа, кратные 9;
- найдётся натуральное число, кратное 9;
- хотя бы одно натуральное число кратно 9.
Их формальная запись:
- <math> (\exists x \in \mathbb{N}) P(x)</math>.
Введение в понятие
Пусть на множестве <math>X</math> простых чисел задан предикат <math>P(x)</math>: «Простое число <math>x</math> нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число <math>x</math> нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 — простое чётное число).
Подставив перед данным предикатом <math>P(x)</math> слово «существует», получим истинное высказывание «Существует простое число <math>x</math>, являющееся нечётным» (например, <math>x=3</math>).
Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова («все», «существует» и другие), называемые в логике кванторами.
Кванторы в математической логике
- Высказывание <math>\forall xP(x)</math> означает, что область значений переменной <math>x</math> включена в область истинности предиката <math>P(x)</math>.
(«При всех значениях <math>x</math> утверждение верно»).
- Высказывание <math>\exists xP(x)</math> означает, что область истинности предиката <math>P(x)</math> не пуста.
(«Существует <math>x</math>, при котором утверждение верно»).
Свободные и связанные переменные
Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:
Свободные переменные.
- Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы,
- свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы ¬F,
- переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G),
- все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.
Замкнутая формула.
- Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.
Связанная переменная.
- Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K — квантор.
Связанное переименование, свободное переименование
Операции над кванторами
Правило отрицания кванторов — применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:
<math>\lnot (\forall x)P(x) = (\exists x) \lnot P(x)</math>
<math>\lnot (\exists x)P(x) = (\forall x) \lnot P(x)</math>
(Общее правило можно сформулировать так: если перед квантором появляется знак отрицания, то квантор перебрасывает его через себя, а сам меняется на другой)
История появления
Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Так, Томас Гоббс считал, что они являются частями имён[1].
Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 г., в книге Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения <math>\exists</math> для квантора существования (перевёрнутая первая буква Шаблон:Lang-en — существует), предложенное Чарльзом Пирсом в 1885 г., и <math>\forall</math> для квантора общности (Шаблон:Lang-deШаблон:Нет АИ — «все», «всякий»), образованное Герхардом Генценом в 1935 г. по аналогии с символом квантора существования. Термины «квантор», «квантификация» также предложил Пирс.
Примечания
Литература
- Клини С. К. Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138
- Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. — М.: КомКнига, 2006. — 240 с.
- Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
- Чёрч А. Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.
Ссылки
- ↑ «Но слова: всякое, любое, некоторое и т. д., указывающие на всеобщее или частное значение других слов, являются не именами, а только частями имен». (Томас Гоббс «О теле»)
