Русская Википедия:Кеплерова задача
- О задаче плотнейшей упаковке шаров см. Гипотеза Кеплера.
В классической механике, задача Кеплера — это частный случай задачи о движении в центральном поле, в которой тело взаимодействует с внешним полем посредством центральной силы <math>\mathbf F</math>, изменяющейся по величине обратно пропорционально квадрату расстояния <math>r</math> между ними. Сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Задача состоит в нахождении зависимости координат или скоростей тел от времени при заданных массах и начальных значениях скоростей и координат. С помощью классической механики решение может быть выражено через Кеплеровы орбиты, используя шесть элементов орбит.
Задача Кеплера названа в честь Иоганна Кеплера, который предложил законы Кеплера движения планет (которые являются частью классической механики и позволяют решить задачу Кеплера для орбит планет) и исследовал типы сил, которые должны приводить к существованию орбит, удовлетворяющих законам Кеплера (так называемая обратная задача Кеплера).
Приложения
Задача Кеплера проявляет себя во многих случаях, и некоторые не относятся к физике и были изучены ещё самим Кеплером.
Задача Кеплера важна для небесной механики, теории тяготения Ньютона, подчиняющейся закону обратных квадратов. Примеры включают движение спутников вокруг планет, движение планет вокруг их солнц, движение двойных звёзд вокруг друг друга. Задача Кеплера также важна для случая движения двух заряженных частиц, между которыми действуют силы Кулона, также подчиняющихся закону обратных квадратов. В качестве примера можно привести атом водорода, позитроний и мюоний, — эти случаи играют важную роль в моделировании систем для проверки физических теорий и измерения физических констант.
Задача Кеплера и задача простого гармонического осциллятора являются двумя наиболее фундаментальными задачами классической механики. Это единственные два случая, имеющих замкнутые орбиты, то есть, объект возвращается в ту же самую начальную точку с той же самой скоростью (Задача Бертрана). Часто задача Кеплера используется для развития новых методов классической механики, таких как Лагранжева механика, Гамильтонова механика, Уравнение Гамильтона — Якоби, переменные действие — угол. Задача Кеплера сохраняет вектор Лапласа — Рунге — Ленца, который был обобщён для других взаимодействий. Решение Кеплеровой задачи позволяет учёным показать, что движение планет может быть исчерпывающим образом описано законами классической механики и классической теорией тяготения Ньютона; научное объяснение движения планет сыграло важную роль в распространении просвещения.
Математическое определение
Центральная сила <math>\mathbf F</math>, действующая на два тела, которая изменяется по величине по закону обратных квадратов в зависимости от расстояния <math>r</math> между телами:
- <math>\mathbf F=\frac {\alpha}{r^2}\mathbf e_{\rho} </math>,
где <math>\alpha</math> — постоянная (для сил гравитационного притяжения <math>\alpha = - G m_1 m_2</math>, для кулоновских <math>\alpha = k q_1 q_2</math>) и <math>\mathbf e_{\rho} </math> представляет собой единичный вектор, направленный по радиус-вектору <math>\mathbf r</math> из центра поля. Сила может быть как притягивающей (<math>\alpha<0</math>), так и отталкивающей (<math>\alpha>0</math>).
Соответствующая потенциальная энергия поля:
- <math>U(r)=-\frac \alpha r</math>.
Решение задачи Кеплера
Рассмотрим движение частицы массой <math>m</math> в центрально-симметричном поле притяжения вида:
<math>U(r)=-\frac \alpha r</math>
где <math>\alpha</math> — положительная константа, <math>r</math> — расстояние частицы от центра поля.
Известно, что момент импульса точки относительно центра силы сохраняется[1], а также учитывая остуствие диссипативных сил и стационарность потенциальной энергии (независимость от времени) получаем следующие интегралы движения:
<math>m[\mathbf r \mathbf v] = \mathbf M</math>
<math>\frac {m\mathbf v^2}{2} + U(r) = E</math>
где <math>\mathbf v</math> — скорость частицы, <math>\mathbf r</math> — радиус-вектор частицы относительно центра поля, <math>\mathbf M</math> — момент импульса частицы, <math>E</math> — полная механическая энергия системы.
Запишем выражения для модуля момента импульса, учтём что вектор момента импульса перпендикулярен плоскости в которой происходит движение:
<math>M = m|[\mathbf r (\mathbf v_\varphi + \mathbf v_r)]| = m|[\mathbf r \mathbf v_\varphi] + [\mathbf r \mathbf v_r]|</math>
учитывая, что радиус-вектор <math>\mathbf r</math> и радиальная составляющая скорости <math>\mathbf v_r</math> коллинеарны, а между радиус-вектором и трансверсальной составляющей скорости <math>\mathbf v_\varphi</math> угол равен <math>90^{\circ}</math> получаем:
<math>M = mr^2\dot{\varphi}</math>,
выразим угловую скорость частицы <math>\dot{\varphi}</math> и подставим в выражение для полной механической энергии системы[2]:
<math>E = \frac {m}{2}(\dot{r}^2 + r^2\dot{\varphi}^2) + U(r) = \frac {m \dot{r}^2}{2} + \frac{M^2}{2mr^2} + U(r)</math>
Введем следующее обозначение "эффективной" потенциальной энергии:
<math>U_{eff} = U(r) + \frac{M^2}{2mr^2}</math>
и выразим радиальную скорость:
<math>\dot{r} = \sqrt{\frac{2}{m}(E - U_{eff})}</math>,
откуда методом разделения переменных получаем выражение для дифференциала времени:
<math>dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E - U_{eff})}}</math>,
используя полученное ранее выражение для момента импульса получаем выражаем дифференциал угла <math>d\varphi</math> и подставляем полученный выше дифференциал времени <math>dt</math>:
<math>\varphi = \int \frac{\frac{M}{mr^2}dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E - U_{eff})}} + \mathrm {const} </math>
Подставляя выражение для потенциальной энергии и интегрируя, получаем явную зависимость <math>\varphi(r) </math>:
<math>\varphi = \arccos\frac{1}{\varepsilon}\left(\frac{p}{r} - 1\right) </math>
где <math>p = \frac{M^2}{m\alpha} </math> и <math>\varepsilon = \sqrt{1 + \frac{2EM^2}{m\alpha}} </math>.
перепишем полученную формулу для траектории:
<math>\frac{p}{r} = 1 + \varepsilon \cos\varphi </math>
в итоге мы пришли в уравнению конического сечения [3], где <math>p </math> — параметр, а <math>\varepsilon </math> — эксцентриситет орбиты.
Из полученных результатов можно сделать следующий вывод: при <math>E<0 </math> эксцентриситет <math>\varepsilon<1 </math>, т. е. траектория частицы представляет собой эллипс, при <math>E=0 </math> эксцентриситет <math>\varepsilon=1 </math> траектория — парабола, при при <math>E>0 </math> эксцентриситет <math>\varepsilon>1 </math> траектория — гипербола [4]
См. также
Примечания
