Русская Википедия:Кеплеровы элементы орбиты

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Orbit ru.svg

Кеплеровы элементы орбиты (рис.1)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

• большая полуось (<math>a</math>),
• эксцентриситет (<math>e</math>),
• наклонение (<math>i</math>),
• долгота восходящего узла (<math>\Omega</math>),
• аргумент перицентра (<math>\omega</math>),
• средняя аномалия (<math>M_o</math>).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой плоскости, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

В случае если орбита является эллипсом, его большая полуось <math>a</math> положительна и равна половине длины большой оси эллипса, то есть половине длины линии апсид, соединяющей апоцентр и перицентр эллипса.

Определяется знаком и величиной полной энергии тела: <math>a = -\frac {GMm}{2E}</math>. Связана с положением и скоростью тела соотношением <math>\frac {1}{a} = \frac {2}{r_0} - \frac {v^2_0}\mu</math>, где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела.

Эксцентриситет

Файл:Elipse.svg

Части эллипса (рис.2)

Эксцентрисите́т (обозначается «<math>e</math>» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия. Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

<math>\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}</math>, где <math>b</math> — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины <math>\varepsilon</math> орбита представляет собой:

• <math>\varepsilon = 0</math> — окружность
• <math>0 < \varepsilon < 1</math> — эллипс
• <math>\varepsilon = 1</math> — параболу
• <math>1 < \varepsilon < \infty</math> — гиперболу, <math>b</math> — мнимое число
• <math> \varepsilon = \infty</math> — прямую (вырожденный случай)

Наклонение

Файл:Inclination in Elliptical Orbit.png

<math>A</math> – объект
<math>B</math> – центральный объект
<math>C</math> – плоскость отсчёта
<math>D</math> – плоскость орбиты
 <math>i</math>  – наклонение

Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от Шаблон:Lang-en). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если <math>0^\circ<i<90^\circ</math>, то движение небесного тела называется прямым.

Если <math>90^\circ<i<180^\circ</math>, то движение небесного тела называется обратным (ретроградным).

• В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
• Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
• Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
• Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота восходящего узла

Шаблон:Falseredirect Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Формула нахождения долготы восх. узла:

<math> \mathbf{n} = \mathbf{k} \times \mathbf{h} = (-h_y, h_x, 0)</math>

<math> \Omega =\arccos { {n_x} \over { \mathbf{\left |n \right |}}}\ \ (n_y\ge 0);</math>

<math>\Omega =2\pi - \arccos { {n_x} \over { \mathbf{\left |n \right |}}}\ \ (n_y<0).</math>

Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

Аргумент перицентра

Шаблон:Falseredirect Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается (<math>\omega</math>).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как <math>\bar{\omega}</math>. Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным.

Средняя аномалия

Файл:Аномалии.gif

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.

Файл:Diagram Anomalies Kepler orbit.svg

Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой <math>M</math> (от Шаблон:Lang-en)

В звёздной динамике средняя аномалия <math>M</math> вычисляется по следующим формулам:

<math>M = M_0 + n(t-t_0)</math>

где:

• <math>M_0</math> — средняя аномалия на эпоху <math>t_0</math>,
• <math>t_0</math> — начальная эпоха,
• <math>t</math> — эпоха, на которую производятся вычисления, и
• <math>n</math> — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

<math>M=E - e \cdot \sin E</math>

где:

• <math>E</math> — эксцентрическая аномалия (<math>E</math> на рис.3),
• <math>e</math> — эксцентриситет.

Ссылки

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web