Русская Википедия:Кепстр
Кепстр — один из видов гомоморфной обработки сигналовШаблон:Sfn, функция обратного преобразования Фурье от логарифма спектра мощности сигналаШаблон:Sfn. Кепстр можно записать следующим выражением:
- <math> C_s(q)={1 \over 2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \ln |S(\omega)|^2 e^{i\omega q}\, d\omega</math>
где <math>S(\omega)</math> — спектр входного сигнала.
Аргумент <math> q </math> имеет размерность времени, но это особое, кепстральное время, поскольку <math> C_s(q) </math> в любой момент <math> q </math> зависит от функции <math> s(t) </math> исходного сигнала со спектром <math> S(\omega ), </math> заданной при <math> -\infty<t<\infty</math>.[1] Иногда <math> q </math> называют «сачтота» или «кьюфренси» (анаграммы от Шаблон:Lang-ru или Шаблон:Lang-en).
Кепстр в английском языке имеет два аналога — Шаблон:Lang-en2 и Шаблон:Lang-en2.
Название
Первые упоминания термина «кепстр» относятся к июню 1962 года, когда Богерт, Хили и Тьюки опубликовали статью с необычным названием «Шаблон:Lang-en»[2]Шаблон:Sfn[3].
В этой статье они заметили, что логарифм спектра мощности колебания, содержащего отраженный сигнал, имеет аддитивную периодическую компоненту, созданную этим сигналом, и поэтому преобразование Фурье от логарифма спектра мощности имеет пик на месте, соответствующем задержке отраженного сигнала[4]. Эту функцию они назвали «кепстром» (Шаблон:Lang-en), изменяя слово «спектр» (Шаблон:Lang-en2) и объясняя это тем, что «в общем случае мы действуем в частотной области так, как принято действовать во временной, и наоборот»[2]. При этом новое «кепстральное» время было ими названо термином «Шаблон:Lang-en2» (от Шаблон:Lang-en), а фаза — «Шаблон:Lang-en2» (от Шаблон:Lang-en)[4].
Позже, в 1969 году Шафер ввёл понятие «комплексного кепстра» (Шаблон:Lang-en), опирающегося на использовании информации как о амплитудном, так и о фазовом спектре наблюдаемого сигнала[5]. Метод комплексного кепстра используется для восстановления исходных сигналов из результата их свёртки и был назван методом гомоморфной деконволюции или гомоморфной фильтрации[6].
Первые упоминания термина «kepstrum» относятся к 1978 году, когда Сильвия и Робинсон в своей работе[7] использовали его для обозначения предложенного ими метода анализа сейсмических сигналов. В этом методе используется тот факт, что для минимально-фазовых сигналов kepstrum-спектральные коэффициенты могут быть получены непосредственно из оценки спектра мощности. В большинстве случаев вычисления «kepstrum» и «complex cepstrum» коэффициентов дают почти одинаковые результаты. Оба метода сходны в том, что используют обратное БПФ от логарифмического спектра мощности. А различие между ними состоит в том, что метод «kepstrum» характеризуется kepstrum-коэффициентами, полученными из степенных рядов Колмогорова, что обеспечивает получение теоретических значений («истинных» значений). В то время как метод «complex cepstrum» позволяет получить эмпирические значения kepstrum-коэффициентов (оценки величин), используя прямое БПФ[3].
Другими словами, «kepstrum»-последовательности коэффициентов в разложении Колмогорова заменяются коэффициентами «complex cepstrum» обратного БПФ[3].
Коэффициенты «complex cepstrum» являются усечённой версией коэффициентов «kepstrum» и зависят только от длины последовательности данных, а не от статистической вариации[3].
Иногда[3] термин «kepstrum» связывают с именем советского математика А. Н. Колмогорова, которым был предложен[8] специальный функциональный ряд для обработки регулярных стационарных случайных процессов. При этом некоторые авторы считают, что первые буквы слова «kepstrum» могут быть расшифрованными как «Шаблон:Lang-en2»[9][10], в то же время аббревиатура KEPSTR ни в указанной работе[8], ни в других работах А. Н. Колмогорова не встречается.
Примечания
- ↑ Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.— 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1986. — 512 с. С.478
- ↑ 2,0 2,1 B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey: «The Quefrency Analysis of Time Series for Echoes: Cepstrum, Pseudo Autocovariance, Cross-Cepstrum and Saphe Cracking». Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209—243. New York: Wiley, 1963.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Шаблон:Книга, Шаблон:ISSN
- ↑ 4,0 4,1 Шаблон:Книга
- ↑ R. W. Schafer, Echo removal by discrete generalized linear filtering: Res. Lab. Electron. MIT, Tech. Rep., No. 466, 1969.
- ↑ A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Homomorphic analysis of speech, IEEE Trans. Audio Electroacoust. AU-16 (1968) 221—226.
- ↑ M. T. Silvia, E. A. Robinson, Use of the kepstrum in signal analysis, Geoexploration 16. (1978) 55-73.
- ↑ 8,0 8,1 А. Н. Колмогоров. Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве. Бюллетень МГУ. Математика. 1941, т. 2, № 6, с. 3—40.
- ↑ M. T. Silvia, E. A. Robinson. Deconvolution of Geophysical Time Series in the Exploration for Oil and Natural Gas / Elsevier Scientific Publishing Company, 1979.
- ↑ J. Jeong, T. J. Moir. Kepstrum approach to real-time speech-enhancement methods using two microphones / Res. Lett. Inf. Math. Sci., 2005, Vol. 7, p. 135—145.
Литература
- Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999.
- Kepstrum approach to real-time speech-enhancement methods using two microphones J.JEONG & T.J.MOIR // Institute of Information & Mathematical Sciences, Massey University at Albany, Auckland, New Zealand
- D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "The Cepstrum: A Guide to Processing, " Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428—1443.
