Русская Википедия:Кинематика

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другие значения Кинема́тика (от Шаблон:Lang-grc — «движение», род. п. Шаблон:Lang-grc2) в физике — раздел механики, изучающий математическое описание (средствами геометрии, алгебры, математического анализа…) движения идеализированных тел (материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость), без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.)[1]. Исходные понятия кинематики — пространство и время. Например, если тело движется по окружности, то кинематика предсказывает необходимость существования центростремительного ускорения без уточнения того, какую природу имеет сила, его порождающая. Причинами возникновения механического движения занимается другой раздел механики — динамика.

Различают классическую кинематику, в которой пространственные (длины отрезков) и временные (промежутки времени) характеристики движения считаются абсолютными, то есть не зависящими от выбора системы отсчёта, и релятивистскую. В последней длины отрезков и промежутки времени между двумя событиями могут изменяться при переходе от одной системы отсчёта к другой. Относительной становится также одновременность. В релятивистской механике вместо отдельных понятий пространство и время вводится понятие пространства-времени, в котором инвариантным относительно преобразований Лоренца является величина, называемая интервалом.

История кинематики

Долгое время понятия о кинематике были основаны на работах Аристотеля, в которых утверждалось, что скорость падения пропорциональна весу тела, а движение в отсутствие сил невозможно. Только в конце XVI века этим вопросом подробно занялся Галилео Галилей. Изучая свободное падение (знаменитые опыты на Пизанской башне) и инерцию тел, он доказал неправильность идей Аристотеля. Итоги своей работы по данной теме он изложил в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению»[2].

Рождением современной кинематики можно считать выступление Пьера Вариньона перед Французской Академией наук 20 января 1700 года. Тогда впервые были даны понятия скорости и ускорения в дифференциальном виде.

В XVIII веке Ампер первый использовал вариационное исчисление в кинематике.

После создания СТО, показывающей, что время и пространство не абсолютны и скорость имеет принципиальное ограничение, кинематика вошла в новый этап развития в рамках релятивистской механики (см. Релятивистская кинематика).

Основные понятия кинематики

Задачи кинематики

Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени. Любое движение рассматривается в определённой системе отсчёта. Также кинематика занимается изучением составных движений (движений в двух взаимно перемещающихся системах отсчёта).

Положение точки (или тела) относительно заданной системы отсчёта определяется некоторым количеством взаимно независимых функций координат:

<math>p_1 = f_1(t)</math>
<math>p_2 = f_2(t)</math>
<math>\vdots</math>
<math>p_\mathrm{n} = f_\mathrm{n}(t)</math>,

где <math>n</math> определяется количеством степеней свободы. Так как точка не может быть в нескольких местах одновременно, все функции <math>f_i(t)</math> должны быть однозначными. Также в классической механике выдвигается требование их дифференцируемости на промежутках. Производные этих функций определяют скорость тела[3].

Скорость движения определяется как производная координат по времени:

<math> v_1 = \frac{d p_1 (t)}{dt}</math>
<math> v_2 = \frac{d p_2 (t)}{dt}</math>
<math>\vdots</math>
<math> v_n = \frac{d p_n (t)}{dt}</math>
<math> \vec v = v_1 \vec \tau_1 + v_2 \vec \tau_2 + .... + v_n \vec \tau_n </math>,

где <math>\vec \tau_i</math> — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих координат.

Ускорение определяется как производная скорости по времени:

<math>\vec a = {d{\vec v (t)} \over dt}</math>

Следовательно, характер движения можно определить, зная зависимость скорости и ускорения от времени. А если кроме этого известны ещё и значения скорости/координат в определённый момент времени, то движение полностью задано.

Деление кинематики по типам объекта исследования

В зависимости от свойств изучаемого объекта, кинематика делится на кинематику точки, кинематику твёрдого тела, кинематику деформируемого тела, кинематику газа, кинематику жидкости и т. д.

Кинематика точки

Основная статья: Кинематика точки

Кинематика точки изучает движение материальных точек — тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с характерными размерами изучаемого явления. Поэтому в кинематике точки скорость, ускорение, координаты всех точек тела считаются равными.

Частные случаи движения в кинематике точки:

  • Если ускорение равно нулю, движение прямолинейное (траектория представляет собой прямую) и равномерное (скорость постоянна).
<math>\vec a = 0 </math>
<math>\vec v = \mathrm const </math>
<math>p_1 (t) = p_1 (0) + v_1 t </math>
<math>p_2 (t) = p_2 (0) + v_2 t </math>
<math>\dots</math>
<math>p_n (t) = p_n (0) + v_n t </math>
<math> s =\mid \vec v \mid (t_1 - t_2 ) </math>,

где <math>s</math> — длина пути траектории за промежуток времени от <math>t_2</math> до <math>t_1</math>, <math>v_1, v_2, \dots, v_n</math> — проекции <math>\vec v</math> на соответствующие оси координат.

  • Если ускорение постоянно и лежит в одной прямой со скоростью, движение прямолинейное, равнопеременное (равноускоренное, если ускорение и скорость направлены в одном направлении; равнозамедленное — если в разные).
<math> \vec a = \mathrm const </math>
<math> \vec v (t) = \vec v (0) + \vec a t </math>
<math> p_1 (t) = p_1 (0) + v_1 (0) t + \frac {a_1 t^2} {2} </math>
<math> p_2 (t) = p_2 (0) + v_2 (0) t + \frac {a_2 t^2} {2} </math>
<math>\dots</math>
<math> p_n (t) = p_n (0) + v_n (0) t + \frac {a_n t^2} {2} </math>
<math> s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid dt </math>,

где <math>s</math> — длина пути траектории за промежуток времени от <math>t_2</math> до <math>t_1</math>, <math>v_1, v_2, \dots, v_n</math> — проекции <math>\vec v</math> на соответствующие оси координат, <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> — проекции <math>\vec a</math> на соответствующие оси координат.

  • Если ускорение постоянно и перпендикулярно скорости, движение происходит по окружности — вращательное движение.
<math> \vec a \perp \vec v </math>
<math> \mid \vec a \mid = \frac { {\mid \vec v \mid }^2} {R} </math>
<math> s =\mid \vec v \mid (t_1 - t_2 ) </math>,

где <math>R</math> — радиус окружности, по которой движется тело.

Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы центр координат был в центре окружности, по которой движется точка, оси y и x лежали в плоскости этой окружности, так чтобы движение осуществлялось против часовой стрелки, то значения координат можно вычислить по формулам:

<math> y = R \sin \Bigg( \frac{\mid \vec v \mid}{R} t + \arcsin \Big(\frac{y(0)}{R}\Big) \Bigg) </math>
<math> x = R \cos \Bigg( \frac{\mid \vec v \mid}{R} t + \arccos \Big(\frac{x(0)}{R}\Big) \Bigg) </math>
<math>z = 0 </math>

Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света, и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.

  • Если ускорение постоянно и не лежит на одной прямой с начальной скоростью, движение параболическое.
<math> \vec a = \mathrm const </math>
<math> \vec v (t) = \vec v (0) + \vec a t </math>
<math> s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid dt</math>

Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы ускорение и начальная скорость лежали в плоскости xy и ускорение было сонаправленно с осью y, то значения координат можно вычислить по формулам:

<math> y (t) = y (0) + v_y (0) t + \frac{\mid \vec a \mid t^2}{2} </math>
<math>x (t) = x (0) + v_x (0) t</math>
<math>z = 0 </math>,

где <math>v_y </math> и <math>v_x </math> — проекции <math>\vec v</math> на соответствующие оси.

Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света, и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.

  • Если тело выполняет разные движения в разных направлениях, то эти движения могут рассчитываться отдельно и складываться по принципу суперпозиции. Например, если в одной плоскости тело совершает вращательное движение, а по оси, перпендикулярной этой плоскости — равномерное поступательное, то вид движения — винтовая линия с постоянным шагом.
  • В общем виде скорость, ускорение и координаты вычисляются по общим формулам (см. задачи кинематики), путь вычисляется по формуле:
<math> s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid dt</math>

Кинематика твёрдого тела

Шаблон:Main

Кинематика твёрдого тела изучает движение абсолютно твёрдых тел (тел, расстояние между двумя любыми точками которого не может изменяться).

Так как любое тело ненулевого объёма имеет бесконечное число точек, и соответственно бесконечное число фиксированных связей между ними, тело имеет 6 степеней свободы и его положение в пространстве определяется шестью координатами (если нет дополнительных условий).

Связь скорости двух точек твердого тела выражается через формулу Эйлера:

<math>\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega}\times\vec{AB}</math>,

где <math>\vec{\omega}</math> — вектор угловой скорости тела.

Кинематика деформируемого тела, Кинематика жидкости

Основные статьи: Кинематика деформируемого тела, Кинематика жидкости

Кинематика деформируемого тела и кинематика жидкости относятся к кинематике непрерывной среды.

Кинематика газа

Шаблон:Main

Кинематика газа изучает деление газа на скопления при движении и описывает движение этих скоплений. В рамках кинематики газа описываются не только основные параметры движения, но и типы движения газа.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Rq Шаблон:ВС

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Из КНЭ
  2. ↑ Научная биография Галилео Галилея
  3. ↑ Шаблон:Из
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Кинематика&oldid=10117889