Русская Википедия:Кинетическая энергия

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Энергия Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точекШаблон:Sfn. Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

<math>E_\mathrm{kin} = \sum{{m_i v_i^2} \over 2},</math>

где индекс <math>\ i</math> нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения[2]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением[3]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: <math> T </math>, <math> E_\mathrm{kin} </math>, <math> K </math> и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж), в СГС — в эргах.

Упрощённо, кинетическая энергия — это работа, которую необходимо совершить, чтобы тело массой <math>m</math> разогнать из состояния покоя до скорости <math>v</math>. Либо, наоборот, это работа, которую может совершить, останавливаясь, тело массой <math>m</math>, обладающее начальной скоростью <math>v</math>.

История и этимология понятия

Прилагательное «кинетический» происходит от греческого слова κίνησις (kinesis, «движение»). Дихотомия между кинетической энергией и потенциальной энергией восходит к аристотелевским концепциям Шаблон:Iw[4] .

Принцип классической механики, согласно которому Шаблон:Math, был впервые разработан Готфридом Лейбницем и Иоганном Бернулли, описавшими кинетическую энергию как живую силу (Шаблон:Lang-la)[5]. Вильгельм Гравезанд из Нидерландов предоставил экспериментальные доказательства этой связи. Сбрасывая грузы с разной высоты на глиняный блок, он определил, что глубина их проникновения пропорциональна квадрату скорости удара. Эмили дю Шатле осознала значение данного эксперимента и опубликовала объяснение[6].

Понятия «кинетическая энергия» и «работа» в их нынешнем научном значении восходят к середине XIX века. В 1829 году Гаспар-Гюстав Кориолис опубликовал статью Du Calcul de l’Effet des Machines, в которой излагалась математика того, что по сути является кинетической энергией. Создание и введение в оборот самого термина «кинетическая энергия» приписывают Уильяму Томсону (лорду Кельвину) c 1849—1851 гг.[7][8]. Ренкин, который ввел термин «потенциальная энергия» в 1853 году[9], позже цитировал У. Томсона и П. Тэйта с заменой слова «кинетическая» на «фактическая»[10].

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой <math>m</math> называется величина

<math>T = {{m v^2} \over 2}</math>,

при этом предполагается, что скорость точки <math>v</math> всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса (<math> \vec{p} = m\vec{v}</math>) данное выражение примет вид <math>\ T = p^2/2m</math>.

Если <math>\vec{F}</math> — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как <math> \vec F = m \vec a</math>. Скалярно умножив его на перемещение материальной точки <math>{\rm d} \vec s = \vec v {\rm d}t</math> и учитывая, что <math> \vec a = {\rm d}\vec{v}/{\rm d}t </math>, причём <math> {\rm d}(v^2)/{\rm d}t = {\rm d}(\vec{v}\cdot\vec{v})/{\rm d}t = 2\vec{v}\cdot{\rm d}\vec{v}/{\rm d}t </math>, получим <math>\ \vec F {\rm d} \vec s = {\rm d} (m v^2/2) = {\rm d} T</math>.

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина <math>\ T</math> остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

<math>T = \frac{M v^2}{2}+\frac{I \omega^2}{2}.</math>

Здесь <math>\ M </math> — масса тела, <math>\ v </math> — скорость центра масс, <math> \vec \omega </math> и <math>I </math> — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс[11].

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа <math> \rho = {\rm d}M/{\rm d}V</math>. Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью <math>\vec{v}</math>, то есть плотность кинетической энергии <math> w_T = {\rm d}T/{\rm d}V</math> (Дж/м3), запишется:

<math> w_T = \rho \frac{v_{\alpha} v_{\alpha}}{2},</math>

где по повторяющемуся индексу <math>{\alpha} = x, y, z</math>, означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[12]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить <math>\ \rho = \overline {\rho} + \rho' </math>, <math>v_{\alpha} = \overline {v_{\alpha}} + v'_{\alpha} </math>, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

<math> \overline{w_T} = \frac{1}{2} \overline{\rho v_{\alpha} v_{\alpha}} = E_s + E_{st} + E_t, </math>

где <math>E_s= \overline{\rho} \, \overline{v_{\alpha}} \, \overline{ v_{\alpha}}/2 </math> — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, <math>E_t= \overline{\rho}\,\overline{v'_{\alpha} \, v'_{\alpha}}/2 + \overline{\rho' v'_{\alpha} v'_{\alpha}}/2</math> — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»[12], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а <math>E_{st}= S_{\alpha}\overline{v_{\alpha}} </math> — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества (<math>S_{\alpha} = \overline{\rho' v'_{\alpha}} </math> — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения <math>E_s</math> зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности <math>E_t</math> от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

Кинетическая энергия в квантовой механике

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором (<math>\hat{p}= -j\hbar\nabla </math>, <math> \ j </math> — мнимая единица):

<math>\hat{T}= \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta</math>

где <math>\hbar</math> — редуцированная постоянная Планка, <math>\nabla </math> — оператор набла, <math>\Delta</math> — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера[13].

Кинетическая энергия в релятивистской механике

Файл:E Kin-ru.svg
Зависимости кинетической энергии от скорости в классическом и релятивистском случаях для массы в 1 кг

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как:

<math>T = \frac{m c^2}{\sqrt{1- v^2/c^2 }}-m c^2,</math>
где <math>\ m</math> — масса материальной точки,
<math>\ v</math> — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,
<math>\ c</math> — скорость света в вакууме (<math>m c^2</math> — энергия покоя).

Кинетическая энергия в этой формуле может быть разложена в ряд Маклорена по степеням <math>v/c</math>:

<math>T = mc^2\left(\frac{1}{2} (v/c)^2 + \frac{3}{8}(v/c)^4 + \cdots\right).</math>

При скоростях много меньших скорости света (<math>v \ll c</math>) пренебрегаем членами разложения с высшими степенями и выражение для <math>\ T</math> переходит в классическую формулу <math>\ T \approx 1/2\cdot mv^2</math>.

Как и в классическом случае, имеет место соотношение <math>\ \vec F {\rm d} \vec s = {\rm d} T</math>, получаемое посредством умножения на <math>{\rm d} \vec s = \vec v {\rm d}t</math> выражения второго закона Ньютона (в виде <math>\ \vec F = m\cdot {\rm d}(\vec v /\sqrt{1-v^2/c^2})/{\rm d}t</math>).

Релятивистское соотношение между кинетической энергией и импульсом Шаблон:Math записывается в виде

<math>T = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2 = mc^2\left(\sqrt{\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1} -1\right).</math>

Разложив это выражение по степеням <math>p^2/(m^2 c^2),</math> получаем

<math>T = mc^2\left(\frac{p^2}{2m^2 c^2} - \frac{p^4}{8m^4 c^4} + \frac{3p^6}{48m^6 c^6} - \cdots\right) = \frac{p^2}{2m} - \frac{p^4}{8m^3 c^2} + \frac{3p^6}{48m^5 c^4} - \cdots,</math>

первый член которого равен нерелятивистскому выражению кинетической энергии через импульс, а последующие члены — релятивистские поправки к этому выражению, которые малы при <math>p \ll mc.</math>

Свойства кинетической энергии

  • Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в системуШаблон:Sfn.
  • Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки и направления её скорости, а зависит лишь от модуля скорости или от квадрата её скоростиШаблон:Sfn.
  • Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
  • Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям ГалилеяШаблон:Sfn. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергииШаблон:Sfn[14].

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии[1]:

<math>\ A_{12} = T_2 - T_1.</math>

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения <math>\ \vec F {\rm d} \vec s = {\rm d} T</math> между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Rq Шаблон:ВС

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Сивухин
  2. ↑ Книга:Физическая энциклопедия
  3. ↑ Шаблон:Книга
  4. ↑ Шаблон:Cite book Шаблон:Wayback Extract of page 93 Шаблон:Webarchive
  5. ↑ Шаблон:Книга
  6. ↑ Шаблон:Книга
  7. ↑ Шаблон:Книга
  8. ↑ Шаблон:Книга
  9. ↑ Шаблон:Статья
  10. ↑ Шаблон:Статья
  11. ↑ Шаблон:Книга
  12. ↑ 12,0 12,1 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — Шаблон:М.: Наука, 1965. — 639 с.
  13. ↑ Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики Шаблон:Wayback, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
  14. ↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» Шаблон:Wayback // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Кинетическая_энергия&oldid=10118058