Русская Википедия:Кинк (математика)
Шаблон:ЗначенияКинк — это решение уравнений поля в некоторых теориях поля в <math>1+1</math> измерениях, интерполирующее между двумя вакуумами при изменении пространственной координаты от <math>-\infty</math> до <math>+\infty</math>. Кинк является простейшим топологическим солитоном.
Кинк в модели одного действительного скалярного поля
Рассмотрим[1] теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности <math>1+1</math> с действием
- <math> S=\int d^2 x \left [ \frac{1}{2} \phi_{,\mu} \phi^{,\mu} - V(\phi) \right ], </math>
где <math>\phi</math> — потенциал поля, <math> \mu = 0, 1</math>, а
- <math> V(\phi) = - \frac{\mu^{2}}{2} \phi^{2} + \frac{\lambda}{4} \phi^{4} + \frac{\mu^4}{4\lambda} = \frac{\lambda}{4} (\phi^{2}-v^2)^2,~~ v = \frac{\mu}{\sqrt \lambda}. </math>
Действие инвариантно относительно дискретного преобразования <math>\phi=-\phi</math>; эта симметрия спонтанно нарушается, так как классические вакуумы равны <math>\phi^{vac}=\pm v</math>.
Из принципа наименьшего действия получается уравнение поля
- <math> \phi_{,\mu}^{~~\mu}+\frac{\partial V(\phi)}{\partial \phi}=0.</math>
Будем искать статическое, то есть не зависящее от времени решение уравнений поля. В этом случае уравнение поля сводится к
- <math> \phi-\frac{\partial V(\phi)}{\partial \phi}=0,</math>
где штрих обозначает производную по пространственной координате. Полученное уравнение имеет следующее решение:
- <math> \phi = v \tanh (\pm\sqrt{\frac{\lambda}{2}}v(x-x_0)) = \frac{\mu}{\sqrt\lambda}\tanh{(\pm\frac{\mu}{\sqrt 2}x)},</math>
где <math>x_0</math> — постоянная интегрирования. Данное решение и является простейшим статическим кинком, интерполирующим между вакуумами <math>-v</math> и <math>+v</math> при изменении пространственной координаты от <math>-\infty</math> до <math>+\infty</math>. Решение со знаком <math>-</math> называется антикинком.
Свойства решения
Размер кинка имеет порядок величины <math>r_k=\mu^{-1}</math>, то есть порядок комптоновской длины волны элементарного возбуждения. Действительно, плотность энергии кинка
- <math> \epsilon (x)=\frac{1}{2}\phi'^2+V(\phi)=\frac{\lambda}{2} v^4 \frac{1}{\cosh^4 (\frac{\mu}{\sqrt 2} (x-x_0))} </math>
существенно отличается от нуля только в области <math>|x-x_0|\lesssim r_k</math>.
Статическая энергия кинка равна
- <math> \int_{-\infty}^{\infty} \epsilon (x) dx = \frac{2}{3}m v^2,</math>
где <math>m=\sqrt 2 \mu</math> — масса элементарного возбуждения.
Полученное решение не инвариантно относительно пространственных трансляций и преобразований Лоренца. Однако эти преобразования переводят решения уравнений поля в другие решения. Применяя трансляции и преобразование Лоренца, получим следующее семейство нестатических решений:
- <math> \phi=\frac{\mu}{\sqrt\lambda}\tanh{(\pm\frac{\mu}{\sqrt 2}\frac{(x-x_0)-u t}{\sqrt{1-u^2}})},</math>
где <math>u</math> — скорость движущегося кинка.
Кинк в модели одного комплексного скалярного поля
Рассмотрим[1] теорию одного комплексного скалярного поля в пространстве размерности <math>1+1</math> с лагранжианом
- <math> \Lambda=\phi_{,\mu} \bar{\phi}^{,\mu}+\mu^2 \phi \bar{\phi} - \frac{\lambda}{2} (\phi \bar{\phi})^2.</math>
Принцип наименьшего действия приводит к следующим уравнениям поля:
- <math> \phi_{,\mu}^{~~\mu}=\mu^2 \phi-\lambda \phi^2 \bar{\phi},</math>
- <math> \bar{\phi}_{,\mu}^{,\mu}=\mu^2 \bar{\phi}-\lambda \bar{\phi}^2 \phi.</math>
Полученные уравнения имеют решением кинк из теории действительного скалярного поля
- <math> \phi=\bar{\phi}=\frac{\mu}{\sqrt\lambda}\tanh{(\pm\frac{\mu}{\sqrt 2}x)}.</math>
Кинк в уравнении синус-Гордона
Рассмотрим[1] теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности <math>1+1</math> с лагранжианом
- <math> \Lambda=\phi_{,\mu} \phi^{,\mu}+m^2 v^2 [\cos \frac{\phi}{v}-1].</math>
Принцип наименьшего действия приводит к уравнению
- <math> \phi_{,\mu}^{~~\mu}+m^2 v \sin \frac{\phi}{v}=0,</math>
которое заменой <math>x\rightarrow mx,~~t\rightarrow mt,~~\phi\rightarrow \frac{\phi}{v} </math> приводится к уравнению синус-Гордона
- <math>\phi_{tt}- \phi_{xx} + \sin\phi = 0,</math>
имеющему следующие частные решения[2], представляющие движущиеся со скоростью <math>v</math> кинки, интерполирующие между вакуумами <math>\phi_0=2 \pi k,~~ k\in\mathbb{Z}</math> и <math>\phi_0 + 2\pi</math> при изменении <math>x</math> от <math>-\infty</math> до <math>+\infty</math>:
- <math> \phi (x,t)=\phi_0 + 4\arctan \left \{ \exp \left [ \pm \frac{x+vt}{\sqrt{v^2-1}}+\delta \right ] \right \},</math>
где <math>\delta</math> — произвольная постоянная. Знак <math>+</math> соответствует кинку, знак <math>-</math> — антикинку.
Примечания
Литература
- Т. И. Белова, А. Е. Кудрявцев, Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля, УФН 167, 377—406 (1997) Шаблон:Wayback.
- V.A. Gani, A.E. Kudryavtsev, M.A. Lizunova, Kink interactions in the (1+1)-dimensional φ6 model, Phys. Rev. D 89, 125009 (2014); Шаблон:Wayback arXiv:1402.5903 [hep-th].
- V.A. Gani, V. Lensky, M.A. Lizunova, Kink excitation spectra in the (1+1)-dimensional φ8 model, JHEP 08 (2015) 147; Шаблон:Wayback arXiv:1506.02313 [hep-th].
- ↑ 1,0 1,1 1,2 * Шаблон:Книга
- ↑ * Шаблон:Книга
