Русская Википедия:Классификация Бьянки
Классификация Бьянки — классификация вещественных трёхмерных алгебр и групп Ли. Названа в честь Луиджи Бьянки, который доказал её в 1898 году.
Классификация содержит 11 классов; 9 из них содержат по одной алгебре, а два содержат континуальное семейство алгебр. (Иногда две группы включаются в бесконечные семейства, давая 9 вместо 11 классов.)
Термин классификация Бьянки также используется для аналогичных классификаций в других размерностях, а также для классификаций комплексных алгебр Ли.
Размерности 0, 1 и 2
- Размерность 0: единственной алгеброй Ли является тривиальная нульмерная алгебра.
- Размерность 1: единственной алгеброй Ли является абелева алгебра Ли <math>\mathbb{R}</math>. Её группа внешних автоморфизмов есть мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел.
- Размерность 2: есть две алгебры Ли:
- Абелева алгебра Ли <math>\mathbb{R}^2</math> с группой внешних автоморфизмов <math>GL(2,\mathbb{R})</math> .
- Разрешаемая алгебра Ли верхнетреугольных 2×2-матриц с нулевым следом. Она имеет тривиальный центр и тривиальную группу внешних автоморфизмов. Ассоциированная односвязная группа Ли — группа аффинных преобразований прямой (иногда она называется <math>(a\cdot x+b)</math>-группой).
Размерность 3
Все трёхмерные алгебры Ли, кроме типов VIII и IX, могут быть построены как полупрямое произведение <math>\mathbb{R}^2</math> и <math>\mathbb{R}</math>, причем <math>\mathbb{R}</math> действует на <math>\mathbb{R}^2</math> некоторой 2×2-матрицей <math>M</math>. Разные типы соответствуют разным типам матриц <math>M</math>, как описано ниже.
- Тип I. Это абелева и унимодулярная алгебра Ли <math>\mathbb{R}^3</math>. Её односвязная группа имеет центр <math>\mathbb{R}^3</math> и группу внешних автоморфизмов <math>GL(3,\mathbb{R})</math>. Это тот случай, когда <math>M</math> равно 0.
- Тип II: алгебра Гейзенберга, которая является нильпотентной и унимодулярной. Односвязная группа имеет центр <math>\mathbb{R}</math> и группу внешних автоморфизмов <math>GL(2,\mathbb{R})</math>. Это тот случай, когда <math>M</math> нильпотентна, но не 0 (все собственные значения 0).
- Тип III: эта алгебра является произведением <math>\mathbb{R}</math> и 2-мерной неабелевой алгебры Ли. (Это предельный случай типа VI, когда одно собственное значение обращается в ноль.) Она разрешима и не унимодулярна. У односвязной группы есть центр <math>\mathbb{R}</math>. Её группа внешних автоморфизмов — группа ненулевых вещественных чисел. Матрица <math>M</math> имеет одно нулевое и одно ненулевое собственное значение.
- Тип IV: алгебра, определяется равенствами [ y, z ] = 0, [ x, y ] = y, [ x, z ] = y + z. Она разрешима и не унимодулярна. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, являющихся произведением вещественных чисел и группы порядка 2. Матрица <math>M</math> имеет два равных ненулевых собственных значения, но не диагонализуема.
- Тип V: [ y, z ] = 0, [ x, y ] = y, [ x, z ] = z . Разрешима и не унимодулярна. (Предельный случай типа VI, когда оба собственных значения равны.) Односвязная группа имеет тривиальный центр, а внешние автоморфизмы группируют элементы <math>GL(2,\mathbb{R})</math> определителя +1 или −1. Матрица <math>M</math> имеет два равных собственных значения и диагонализуема.
- Тип VI: бесконечное семейство: полупрямые произведения <math>\mathbb{R}^2</math> на <math>\mathbb{R}</math>, где матрица <math>M</math> имеет ненулевые различные вещественные собственные значения с ненулевой суммой. Алгебры разрешимы и не унимодулярны. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, являющуюся произведением ненулевых вещественных чисел и группы порядка 2.
- Типа VI0: Эта алгебра Ли является полупрямым произведением <math>\mathbb{R}^2</math> на <math>\mathbb{R}</math>, где матрица М имеет ненулевые различные вещественные собственные значения с нулевой суммой. Она разрешима и унимодулярна. Это алгебра Ли 2-мерной группы Пуанкаре — группы изометрий 2-мерного пространства Минковского. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, произведение положительных вещественных чисел с группой диэдра порядка 8.
- Тип VII: бесконечное семейство: полупрямые произведения <math>\mathbb{R}^2</math> на <math>\mathbb{R}</math>, где матрица <math>M</math> имеет комплексные собственные значения, не вещественные и не мнимые. Разрешима и не унимодулярна. Односвязная группа имеет тривиальный центр, а внешние автоморфизмы группируют ненулевые вещественные числа.
- Тип VII0: полупрямое произведение <math>\mathbb{R}^2</math> на <math>\mathbb R</math>, где матрица <math>M</math> имеет ненулевые мнимые собственные значения. Разрешима и унимодулярна. Это алгебра Ли группы изометрий плоскости. Односвязная группа имеет центр <math>\mathbb Z</math> и группу внешних автоморфизмов, являющуюся произведением ненулевых вещественных чисел и группы порядка 2.
- Тип VIII: алгебра Ли <math>\mathfrak {sl}(2,\mathbb R) \ \ 2\times2</math>-матриц с нулевым следом, ассоциированная с группой <math>\mathrm {SL} (2,\mathbb R)</math>. Простая и унимодулярная. Односвязная группа не является матричной группой; она обозначается <math>\widetilde {\mbox{SL}} (2,\mathbb R)</math>, имеет центр <math>\mathbb Z</math> и группу внешних автоморфизмов порядка <math>2</math>.
- Тип IX: алгебра Ли ортогональной группы <math>\mathrm O(3,\mathbb R)</math>. Она обозначается <math>\mathfrak {so}(3)</math> и является простой и унимодулярной. Соответствующая односвязная группа — <math>\mathrm {SU}(2)</math>; она имеет центр порядка <math>2</math> и тривиальную группу внешних автоморфизмов, и является спинорной группой .
Классификация трёхмерных комплексных алгебр Ли аналогична, за исключением того, что типы VIII и IX становятся изоморфными, а типы VI и VII становятся частью единого семейства алгебр Ли.
Связные 3-мерные группы Ли можно классифицировать следующим образом: они являются фактором соответствующей односвязной группы Ли по дискретной подгруппе центра, поэтому их можно прочитать из данного списка.
Группы связаны с 8 типами геометрий в гипотезе геометризации Терстона. Точнее, семь из 8 геометрий могут быть реализованы как левоинвариантные метрики на односвязной группе (иногда более чем одним способом). Геометрия типа <math>S^2\times\mathbb R</math> не может быть реализована таким образом.
Ссылки
