Русская Википедия:Классический метод расчёта переходных процессов

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Стиль Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Данный метод обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей (расчет сложных цепей упрощается операторным методом).

Методика

Этапы расчета переходного процесса в цепи классическим методом:

  1. Найти независимые начальные условия, то есть, напряжения на ёмкостях и токи на индуктивностях в момент начала переходного процесса.
  2. Далее необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока <math>i</math> или напряжения <math>u</math>. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.
  3. Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.
  4. Наконец, в общем решении следует найти постоянные интегрирования из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима называют установившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Пример расчёта простейшего переходного процесса классическим методом

Файл:Transient in RL-circuit.gif
Переходный процесс в коммутируемой RL-цепочке

Задача

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

Решение

Согласно второму закону Кирхгофа, схема описывается следующим дифференциальным уравнением:

<math>U = iR + L\frac{di}{dt}, </math>

где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй — на индуктивности L.

Делаем замену переменной <math>i=ab</math> и приводим уравнение к виду:

<math>U = Rab + L(a'b+ab'); \qquad U = a(Rb + Lb')+La'b. </math>

Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

<math>Rb + Lb'=0. </math>

Разделяем переменные:

<math>\frac{b'}{b} = -\frac{R}{L}; \qquad

\ln b = -\frac{R}{L}t; \qquad b = e^{-\frac{R}{L}t}. </math> С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду

<math>U = La'e^{-\frac{R}{L}t}; \qquad

a'=\frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{L}; </math> Интегрируя, получаем

<math>a=\frac{L}{R}\cdot \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{L}+C = \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{R}+C; \qquad </math>

Получаем выражение для тока

<math>i=ab=

\left( \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{R}+C \right) \cdot e^{-\frac{R}{L}t} = \frac{U}{R}+Ce^{-\frac{R}{L}t}; </math>

Значение постоянной интегрирования находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:

<math>i(0)=0; \qquad

\frac{U}{R}+C=0;\qquad C = -\frac{U}{R}. </math> Окончательно получаем

<math>i=

\frac{U}{R} \left( 1-e^{-\frac{R}{L}t} \right). </math>

См. также

Литература

  • Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6

Ссылки

Шаблон:Расчёт электрических цепей

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Классический_метод_расчёта_переходных_процессов&oldid=10127478