Русская Википедия:Класс Понтрягина

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Понятие введено в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.

Для векторного расслоения <math>\xi</math> с базой <math>B</math> классы Понтрягина обозначаются символом <math>p_i(\xi)\in H^{4i}(B)</math> и полагаются равными

<math>p_i(\xi)=(-1)^ic_{2i}(\xi\otimes\mathbb C)</math>,

где <math>\xi\otimes\mathbb C</math> — комплексификация расслоения <math>\xi</math>, a <math>c_{i}</math> — классы Черна.

Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс

<math>p(\xi)=1+p_1(\xi)+p_2(\xi)+\dots</math>.

Если <math>B</math> — гладкое многообразие и расслоение <math>\xi</math> явно не указывается, то предполагается что <math>\xi</math> есть касательное расслоение <math>B</math>.

Свойства

• Через классы Понтрягина выражаются L-класс Хирцебруха и <math>\hat A</math>-класс.
• Если <math>\xi</math>, <math>\eta</math> — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
      <math>p(\xi\oplus\eta)-p(\xi)p(\eta)</math> имеет порядок не больше двух.
  • В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
        <math>p(\xi\oplus\eta)=p(\xi)p(\eta)</math>.
• Классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают (теорема С. П. Новикова)
  • Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
• Для 2k-мерного расслоения <math>\xi</math> справедливо равенство
      <math>p_k(\xi)=e(\xi)^2,</math>
  где <math>e(\xi)</math> обозначает [[|en]] (Euler class).

Литература

• Понтрягин Л. С.  «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
• Новиков С. П.  «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300;
• Шаблон:Книга