Русская Википедия:Класс Тодда
Класс Тодда — это некоторая конструкция, которая ныне считается частью теории характеристических классов в алгебраической топологии. Класс Тодда векторного расслоения можно определить посредством теории классов Чженя и они встречаются там, где классы Чженя существуют — в первую очередь в дифференциальной топологии, теории комплексных многообразий и алгебраической геометрии. Грубо говоря, класс Тодда действует противоположно классу Чженя и относится к нему как конормальное расслоение относится к нормальному расслоению.
Классы Тодда играют фундаментальную роль в обобщении классической теоремы Римана — Роха на пространства более высоких размерностей до Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5.
История
Класс назван по имени Шаблон:Не переведено 5, который ввёл специальный случай понятия в алгебраической геометрии в 1937 до того, как были определены классы Чженя. Использованная геометрическая идея иногда называется классом Тодда — Эгера.
Общее определение в более высоких размерностях принадлежит Хирцебруху.
Определение
Чтобы определить класс Тодда td(E), где E — это комплексное векторное расслоение на топологическом пространстве X, обычно достаточно ограничиться определением на случай суммы Уитни Шаблон:Не переведено 5 при помощи общих понятий теории характеристических классов, использования корней Чженя (он же Шаблон:Не переведено 5). Пусть
- <math> Q(x) = \frac{x}{1 - e^{-x}}=\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^iB_{i}}{i!}x^{i} = 1 +\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{x^4}{720}+\cdots</math>
является формальным степенным рядом со свойством, что коэффициенты при xn в Q(x)n+1 равны 1 (здесь Bi — числа Бернулли). Рассмотрим коэффициент при xj в произведении
- <math> \prod_{i=1}^m Q(\beta_i x) \ </math>
для любого m > j. Этот коэффициент симметричен по βi и однороден по весам j, так что его можно выразить как многочлен <math>td_j(p_1, \dots, p_j)</math> от Шаблон:Не переведено 5 p от β. Тогда <math>td_j</math> определяют многочлены Тодда и они образуют Шаблон:Не переведено 5 с Q в качестве характеристического степенного ряда.
Если E имеет αi в качестве корней Чженя, то класс Тодда
- <math>td(E) = \prod Q(\alpha_i)</math>
который следует вычислять в Шаблон:Не переведено 5 топологического пространства X (или в его дополнении, если рассматриваются бесконечномерные многообразия).
Класс Тодда можно задать явно как формальный степенной ряд в классах Чженя следующим образом:
- <math>td(E) = 1 + c_1/2 + (c_1^2+c_2)/12 + c_1c_2/24 + (- c_1^4 + 4c_1^2c_2 + c_1c_3 + 3c_2^2 - c_4)/720 + \dots</math>
где классы когомологий ci являются классами Чженя на E и лежат в группе когомологий <math>\mathrm{H}^{2i}(X) </math>. Если X имеет конечную размерность, то большинство членов равны нулю и td(E) является многочленом в классах Чженя.
Свойства класса Тодда
Класс Тодда мультипликативен:
- <math>Td^*(E\oplus F) = Td^*(E)\cdot Td^*(F).</math>
Пусть <math>\xi \in H^2({\mathbb C} P^n)</math> является фундаментальным классом гиперплоского сечения. Из мультиплиативности и Шаблон:Не переведено 5 для касательного расслоения <math> {\mathbb C} P^n</math>
- <math> 0 \to {\mathcal O} \to {\mathcal O}(1)^{n+1} \to T {\mathbb C} P^n \to 0,</math>
получаем [1]
- <math> Td^*(T {\mathbb C}P^n) = \left( \dfrac{\xi}{1-e^{-\xi}} \right)^{n+1}.</math>
Формула Хирцебруха — Римана — Роха
Шаблон:Основная статья Для любого когерентного пучка F на гладком проективном комплексном многообразии M, имеем
- <math>\chi(F)=\int_M Ch^*(F) \wedge Td^*(TM),</math>
где <math>\chi(F)</math> — его Шаблон:Не переведено 5,
- <math>\chi(F):= \sum_{i=0}^{\text{dim}_{\mathbb{C}} M} (-1)^i \text{dim}_{\mathbb{C}} H^i(F),</math>
и Ch*(F) — его характер Чженя.
См. также
Род мультипликативной последовательности
Примечания
Литература
- ↑ INTERSECTION THEORY CLASS 18 Шаблон:Wayback, by Ravi Vakil
