Русская Википедия:Класс Штифеля — Уитни

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению <math>E\rightarrow X</math>. Обычно обозначается через <math>w(E)</math>. Принимает значения в <math>H^*(X;\;\Z_2)</math>, кольце когомологий с коэффициентами в <math>\Z_2=\Z/2\Z</math>.

Компонента <math>w(E)</math> в <math>i</math>-х когомологиях <math>H^i(X;\;\Z_2)</math> обозначается <math>w_i(E)</math> и называется <math>i</math>-м классом Штифеля — Уитни расслоения <math>E</math>, так что

<math>w(E)=w_0(E)+w_1(E)+w_2(E)+\ldots\,.</math>

Классы <math>w_i(E)</math> являются препятствиями в <math>H^i(X;\;\Z_2)</math> к построению <math>(n-i+1)</math>-го линейно независимого сечения <math>E</math>, ограниченного на <math>i</math>-й остов <math>X</math>.

Аксиоматическое определение

Здесь и далее, <math>H^i(X;\;G)</math> обозначает сингулярные когомологии пространства <math>X</math> с коэффициентами в группе <math>G</math>.

Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению <math>E</math> элемент кольца гомологий <math>w(E)</math> так, что выполняются следующие аксиомы:

1. Естественность: <math>w(f^* E)=f^* w(E)</math> для любого расслоения <math>E\to X</math> и отображения <math>f:X'\to X</math>, где <math>f^*E</math> обозначает соответствующее индуцированное расслоение над <math>X'</math>.
2. <math>w_0(E)=1</math> в <math>H^0(X;\;\Z/2\Z)</math>.
3. <math>w_1(\gamma^1)</math> является образующей <math>H^1(\R P^1;\;\Z/2\Z)\cong\Z/2\Z</math> (условие нормализации). Здесь <math>\gamma^1</math> — это тавтологическое расслоение.
4. <math>w(E\oplus F)= w(E)\smallsmile w(F)</math> (формула произведения Уитни).

Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства <math>X</math>)

Исходное построение

Классы Штифеля — Уитни <math>w_i(E)</math> были предложены en (Eduard Stiefel) и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению <math>(n-i+1)</math>-го линейно независимого сечения <math>E</math>, ограниченного на <math>i</math>-й остов <math>X</math>. (Здесь <math>n</math> — размерность слоя <math>F</math> расслоения <math>E</math>).

Более точно, если <math>X</math> является CW-комплексом, Уитни определил классы <math>W_i(E)</math> в <math>i</math>-й группе клеточных когомологий <math>X</math> с нестандартными коэффициентами.

А именно, в качестве коэффициентов берётся <math>(i-1)</math>-я гомотопическая группа многообразия Штифеля <math>V_{n-i+1}(F)</math> наборов из <math>n-i+1</math> линейно независимого вектора в слое <math>F</math>. Уитни доказал, что для построенных им классов <math>W_i(E)=0</math> тогда и только тогда, когда расслоение <math>E</math>, ограниченное на <math>i</math>-скелет <math>X</math>, имеет <math>n-i+1</math> линейно независимое сечение.

Поскольку гомотопическая группа <math>\pi_{i-1}V_{n-i+1}(F)</math> многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна <math>\Z_2</math>, существует каноническая редукция классов <math>W_i(E)</math> к классам <math>w_i(E)\in H^i(X;\;\Z_2)</math>, которые и называются классами Штифеля — Уитни.

В частности, если <math>\pi_{i-1}V_{n-i+1}(F)=\Z_2</math>, то эти классы просто совпадают.

Связанные определения

• Если мы работаем на многообразии размерности <math>n</math>, то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени <math>n</math> может быть спарено с <math>\Z_2</math>-фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент <math>\Z_2</math>; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие <math>w_1^3</math>, <math>w_1w_2</math> и <math>w_3</math>. В общем случае, если многообразие <math>n</math>-мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям <math>n</math> в сумму целых слагаемых.
  • Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
• Естественному отображению приведения по модулю два, <math>\Z\to\Z_2</math>, соответствует гомоморфизм Бокштейна

  <math>\beta\colon H^i(X;\;\Z_2)\to H^{i+1}(X;\;\Z).</math>

Образ класса <math>w_i</math> под его действием, <math>\beta w_i\in H^{i+1}(X;\;\Z)</math>, называется <math>(i+1)</math>-м целым классом Штифеля — Уитни.

• В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению <math>\mathrm{Spin}^C</math>-структуры.

Свойства

• Если расслоение <math>E^k</math> имеет <math>s_1,\;\ldots,\;s_\ell</math> сечений, линейно независимых над каждой точкой, то <math>w_{k-\ell+1}=\ldots=w_k=0</math>.
• <math>w_i(E)=0</math> при <math>i>\mathrm{rank}(E)</math>.
• Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие <math>M</math> ориентируемо тогда и только тогда, когда <math>w_1(TM)=0</math>.
• Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
• Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения <math>H^2(M,\;\Z)\to H^2(M,\;\Z_2)</math> (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает <math>\mathrm{Spin}^C</math>-структуру.
• Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия <math>X</math> обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.

Литература

• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
• Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
• Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — Шаблон:М: Мир, 1979. — 371 с.