Русская Википедия:Коалгебра
Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих алгебрах и Шаблон:Не переведено 5). Существует также Шаблон:Не переведено 5, имеющая важные приложения в информатике.
Определение
Коалгебра над полем Шаблон:Mvar — это векторное пространство Шаблон:Mvar над Шаблон:Mvar вместе с [[линейное отображение|Шаблон:Mvar-линейными отображениями]] <math>\Delta : C \to C \otimes_K C</math> и <math>\epsilon : C \to K</math>, такими что
- <math>(\mathrm{id}_C \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta</math>
- <math>(\mathrm{id}_C \otimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id}_C = (\epsilon \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta</math>.
(Здесь <math>\otimes</math> и <math>\otimes_K</math> означает тензорное произведение над Шаблон:Mvar.)
Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют:
На первой диаграмме мы отождествляем <math>C\otimes (C\otimes C)</math> с <math>(C \otimes C)\otimes C</math> как два естественно изоморфных пространства.[1] Аналогично, на второй диаграмме отождествлены естественно изоморфные пространства <math>C</math> , <math>C\otimes K</math> и <math>K\otimes C</math>.[2]
Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность операции умножения алгебры (и называется коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного нейтрального элемента. Соответственно, отображение Шаблон:Math называется коумножением (или копроизведением) в Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar является коединицей Шаблон:Mvar.
Пример
Рассмотрим множество Шаблон:Mvar и образуем векторное пространство над Шаблон:Mvar с базисом Шаблон:Mvar. Элементами этого векторного пространства являются такие функции из Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar которые отображают все элементы Шаблон:Mvar, кроме конечного числа, в ноль; мы отождествим элемент Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar с функцией которая отображает Шаблон:Mvar в 1 и все остальные элементы Шаблон:Mvar в 0. Мы будем обозначать это пространство как Шаблон:Mvar. Мы определим
- <math>\Delta(s) = s\otimes s \quad \mbox{ and } \quad \epsilon(s)=1 \quad \forall s\in S.</math>
Шаблон:Math и Шаблон:Mvar могут быть единственным образом продолжены на всё Шаблон:Mvar по линейности. Векторное пространство Шаблон:Mvar становится коалгеброй с коумножением Шаблон:Math и коединицей Шаблон:Mvar (проверка этого является хорошим способом, чтобы привыкнуть к использованию аксиом коалгебры).
Конечномерный случай
В конечномерном случае, двойственность между алгеброй и коалгеброй ближе: объект, двойственный к конечномерной (унитарной ассоциативной) алгебре есть коалгебра, а двойственный к конечномерной коалгебре есть (унитарная ассоциативная) алгебра. Вообще же говоря, объект, двойственный к алгебре, может не быть коалгеброй.
Это следует из того, что, для конечномерных пространств, Шаблон:Math и Шаблон:Math изоморфны.
Ещё раз: алгебра и коалгебра — двойственные понятия (аксиомы, определяющие одну, получаются из аксиом другой обращением стрелок), тогда как для конечномерных пространств они являются ещё и двойственными объектами.
Примечания
См. также
Литература
- Шаблон:Citation.
- Шаблон:Citation.
- Шаблон:Книга. Chapter III, section 11.
Ссылки
