Русская Википедия:Когомологии де Рама
Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий.
Названы в честь швейцарского математика де Рама. <math>k</math>-мерная группа когомологий де Рама многообразия <math>M</math> обычно обозначается <math>H^k_{\mathrm{dR}}(M)</math>.
Гладкие многообразия
Определения
Через коцепной комплекс
Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии <math>M</math> с внешним дифференциалом <math>d\,^k</math> в качестве дифференциала.
- <math>0 \to \Omega^0(M) \stackrel{d^0}{\to} \Omega^1(M) \stackrel{d^1}{\to} \Omega^2(M) \stackrel{d^2}{\to} \Omega^3(M)\to \ldots</math>
Здесь <math>\Omega^0(M)</math> — пространство гладких функций на <math>M</math>, <math>\Omega^1(M)</math> — пространство 1-форм, то есть <math>\Omega^k(M)</math> — пространство <math>k</math>-форм. Заметим, что <math>d^{k+1} d^k= 0</math>. <math>k</math>-мерная группа когомологий <math>H^k</math> этого коцепного комплекса является его мерой точности в <math>k</math>-м члене и определяется как
- <math>H^k(\Omega^\bullet,\;d^\bullet) = \operatorname{Ker} d^k / \operatorname{Im} d^{k-1}.</math>
- Форма <math>\alpha \in \Omega^k(M)</math> называется замкнутой, если <math>d^k \alpha = 0</math>, в этом случае <math>\alpha \in \operatorname{Ker} d^k</math>.
- Форма <math>\alpha \in \Omega^k(M)</math> называется точной, если <math>\alpha = d^{k-1} \gamma</math>, для некоторой <math>\gamma \in \Omega^{k-1}</math>, то есть <math>\alpha \in \operatorname{Im} d^{k-1}</math>.
Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.
Как класс эквивалентности форм
Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> в <math>\Omega^k(M)</math> называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность <math>\alpha-\beta=d\gamma</math> является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в <math>\Omega^k(M)</math>.
Когомологическим классом <math>[\alpha]</math> формы <math>\alpha</math> называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от <math>\alpha</math> на точную форму — то есть множество форм вида <math>\alpha+d\gamma</math>.
<math>k</math>-мерная группа когомологий де Рама <math>H^k_\mathrm{dR}(M)</math> — это факторгруппа всех замкнутых форм в <math>\Omega^k(M)</math> по подгруппе точных форм.
Заметим, что для многообразия <math>M</math>, имеющего <math>N</math> связных компонент,
- <math>H^0_\mathrm{dR}(M)\cong\mathbf{R}^N.</math>
Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.
Теорема де Рама
Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если <math>\omega</math> — замкнутая <math>k</math>-форма, а <math>M</math> и <math>N</math> — гомологичные <math>k</math>-цепи (то есть <math>M-N</math> является границей <math>(k+1)</math>-мерной цепи <math>W</math>), то
- <math>\int\limits_M\omega=\int\limits_N\omega,</math>
поскольку их разность есть интеграл
- <math>\int\limits_{\partial W}\omega=\int\limits_W\,d\omega=\int\limits_W 0=0.</math>
Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама <math>H^k_\mathrm{dR}(M)</math> в группу сингулярных когомологий <math> H^k(M;\;\mathbf R)</math>. Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:
- <math>H^k_\mathrm{dR}(M)\cong H^k(M;\;\mathbf R).</math>
Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп <math>H^k_\mathrm{dR}(M)</math> структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях <math>H^k(M;\;\mathbf R)</math> задаёт <math>\smile</math>-умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.
Алгебраические многообразия
Определение
Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием <math>X</math> над полем <math>k</math> связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.
Группами когомологий де Рама многообразия <math>X</math> называются группы когомологий <math>H^p_\mathrm{dR}(X/k)</math>.
Частные случаи когомологий де Рама
- Если <math>X</math> является гладким и полным многообразием, а характеристика поля <math>\mathrm{char}\,k=0</math>, то когомологии де Рама являются когомологиями Вейля.
- Если многообразие <math>X</math> есть гладкое аффинное многообразие, а поле <math>k=\Complex</math>, то справедлив следующий аналог теоремы де Рама:
- <math>H^p_{\mathrm{dR}}(X/k)\cong H^p(X_{an},\;\mathbb{C}),</math>
- где <math>X_{an}</math> — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию <math>X</math>.
- Например, если <math>X</math> — дополнение к алгебраической гиперповерхности в <math>P^n(\Complex)</math>, то когомологии <math>H^p(X,\;\Complex)</math> могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на <math>P^n(\Complex)</math> с полюсами на этой гиперповерхности.
Относительные когомологии де Рама
Для любого морфизма <math>f\colon X\to S</math> можно определить так называемый относительный комплекс де Рама
- <math>\sum_{p\leqslant 0}\Gamma(\Omega^p_{X/S}),</math>
приводящий к относительным когомологиям де Рама <math>H^p_\mathrm{dR}(X/S)</math>.
В случае, если многообразие <math>X</math> является спектром кольца <math>\mathrm{Spec}\,A</math>, а <math>S=\mathrm{Spec}\,B</math>, то относительный комплекс де Рама совпадает с <math>\Lambda\Omega^1_{A/B}</math>.
Когомологии <math>\mathcal{H}^p_\mathrm{dR}(X/S)</math> комплекса пучков <math>\sum_{p\leqslant 0}f_*\Omega^p_{X/S}</math> на <math>S</math> называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли <math>f</math> — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на <math>S</math>.
Литература
