Русская Википедия:Колесо (алгебра)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Колесо (от Шаблон:Lang-en — «теория колес», иногда «ролик») — тип алгебры, где операция деления определена всегда. В частности, в них деление на ноль имеет смысл. Вещественные числа могут быть расширены до колеса, как и любое коммутативное кольцо.

Сфера Римана также может быть расширена до колеса путем присоединения элемента <math>\bot</math>, где <math>0/0=\bot</math>. Сфера Римана является расширением комплексной плоскости элементом <math>\infty</math>, где <math>z/0=\infty</math> для любых комплексных <math>z\neq 0</math>. Однако <math>0/0</math> не определён в сфере Римана, но определяется в её расширении до колеса.

Термин колесо вдохновлен топологической пиктограммой <math>\odot</math>, обозначающей проективную линию вместе с дополнительной точкой <math>\bot = 0/0</math>.Шаблон:Sfn

Определение

Колесо — это алгебраическая структура <math>( W, 0, 1, +, \cdot, / )</math> (где операция / унарная), удовлетворяющая:

• Сложение и умножение являются коммутативными и ассоциативными, а <math>0</math> и <math>1</math> представляют собой их нейтральные элементы.
• <math>//x = x</math>
• <math>/(xy) = /x/y</math>
• <math>xz + yz = (x + y)z + 0z</math>
• <math>(x + yz)/y = x/y + z + 0y</math>
• <math>0\cdot 0 = 0</math>
• <math>(x+0y)z = xz + 0y</math>
• <math>/(x+0y) = /x + 0y</math>
• <math>0/0 + x = 0/0</math>

Алгебра колес

Колеса заменяют традиционное деление (бинарный оператор, обратный к умножению) на унарный оператор, применяющийся к одному аргументу: «<math>/x</math>». Это похоже на определение обратного числа <math>x^{-1}</math>, но не идентично ему. В колесах <math>a/b</math> становится краткой записью для <math>a \cdot /b = /b \cdot a</math> и изменяет правила алгебры так, что

• <math>0x \neq 0</math> в общем случае
• <math>x - x \neq 0</math> в общем случае
• <math>x/x \neq 1</math> в общем случае, поскольку <math>/x</math> не совпадает с мультипликативно обратным числом для <math>x</math>.

Если существует элемент <math>a</math> такой, что <math>1 + a = 0</math>, то становится возможным определить отрицание (противоположное число) <math>-x = ax</math> и вычитание <math>x - y = x + (-y)</math>.

Некоторые следствия:

• <math>0x + 0y = 0xy</math>
• <math>x-x = 0x^2</math>
• <math>x/x = 1 + 0x/x</math>

Тогда для <math>x</math> при <math>0x = 0</math> и <math>0/x = 0</math> получаем привычные

• <math>x-x = 0</math>
• <math>x/x = 1</math>

Если определить отрицание как предложено выше, то подмножество колеса <math>\{x\mid 0x=0\}</math> является коммутативным кольцом и, более того, любое коммутативное кольцо является таким подмножеством какого-либо колеса. Если <math>x</math> — обратимый элемент коммутативного кольца, то <math>x^{-1}=/x</math>. Таким образом, если <math>x^{-1}</math> имеет смысл (как обычный обратный по умножению элемент), он равен <math>/x</math>, но операция <math>/x</math> определена всегда, даже для <math>x=0</math>.

Ссылки

• Шаблон:Citation (проект)
• Шаблон:Citation (также онлайн версия).
• Евгений Капи́нос. Делить на ноль — это норма. Часть 1 , Часть 2, 2015Шаблон:Ref-ru