Русская Википедия:Кольцо Крулля
Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году[1]. Кольца Крулля являются многомерным обобщением дедекиндовых колец: дедекиндово кольцо — это в точности кольцо Крулля размерности не более 1.
В этой статье под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей».
Определение
Пусть <math> A </math> — область целостности, а <math> P </math> — множество всех простых идеалов <math> A </math> высоты 1, то есть простых идеалов, не содержащих других ненулевых простых идеалов. <math> A </math> является кольцом Крулля тогда и только тогда, когда:
- <math> A_{\mathfrak{p}} </math> — кольцо дискретного нормирования для всех <math> \mathfrak{p} \in P </math>,
- <math> A </math> равняется пересечению этих колец дискретного нормирования (рассматриваемых как подкольца поля частных <math> A </math>).
- Любой ненулевой элемент <math> A </math> содержится не более чем в конечном числе простых идеалов высоты 1.
Свойства
Кольцо Крулля факториально тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным[2].
Пусть <math>A</math> — кольцо Зарисского (например, нётерово локальное кольцо). Если пополнение <math>\widehat{A}</math> — кольцо Крулля, то и <math>A</math> — кольцо Крулля.[3]
Примеры
- Любое целозамкнутое нётерово кольцо является кольцом Крулля. В частности, дедекиндовы кольца являются кольцами Крулля. Обратно, все кольца Крулля целозамкнуты, так что для нётерова кольца свойство «быть кольцом Крулля» эквивалентно свойству «быть целозамкнутым».
- Если <math> A </math> — кольцо Крулля, то кольцо многочленов <math> A[x] </math> и кольцо формальных степенных рядов <math> Ax </math> являются кольцами Крулля.
- Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных <math>R[x_1, x_2, x_3, \ldots]</math> над факториальным кольцом <math> R </math> — пример кольца Крулля, не являющегося нётеровым. Более общо, все факториальные кольца являются кольцами Крулля.
- Пусть <math> A </math> — нётерова область с полем частных <math> K </math>, и <math> L </math> — конечное расширение <math> K </math>. Тогда целое замыкание <math> A </math> в <math> L </math> — кольцо Крулля (частный случай теоремы Мори — Нагаты)[4].
Группа классов дивизоров
Все дивизорные идеалы кольца Крулля разлагаются (единственным образом) в произведение простых идеалов высоты 1, так что группу <math>D(A)</math> можно рассматривать как группу формальных линейных комбинаций (с целыми коэффициентами) простых идеалов высоты 1. Главные дивизоры образуют подгруппу <math>D(A)</math>, фактор по этой группе называется группой классов дивизоров. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо <math>A</math> факториально.
Дивизор Картье — это локально главный дивизор. Дивизоры Картье образуют подгруппу группы дивизоров <math>D(A)</math>. Все главные дивизоры являются дивизорами Картье, фактор дивизоров Картье по ним — это Шаблон:Не переведено 5 обратимых пучков на <math>Spec(A)</math>.
Пример: в кольце <math>k[x,y,z]/(xy-z^2)</math> группа классов дивизоров имеет порядок 2 (порождена дивизором <math>y=z</math>), тогда как группа Пикара тривиальна.
Примечания
Литература
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Krull ring, Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4.
- Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. — ISBN 0-521-25916-9.
- Шаблон:Cite web
- ↑ Krull, Wolfgang (1931), Allgemeine Bewertungstheorie Шаблон:Архивировано, J. Reine Angew. Math. 167: 160—196
- ↑ Шаблон:Из
- ↑ Бурбаки, глава 7, no 10, Предложение 16.
- ↑ Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules, Том 13
