Русская Википедия:Кольцо Куммера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В общей алгебре кольцо Куммера <math>\mathbb{Z}[\zeta]</math> — это подкольцо кольца комплексных чисел, каждый элемент которого имеет вид

<math> n_0 + n_1 \zeta + n_2 \zeta^2 + ... + n_{m-1} \zeta^{m-1}\ </math>

где ζ — m^th корни из единицы, то есть

<math> \zeta = e^{2 \pi i / m} \ </math>

и все n_k целые.

Кольцо Куммера является расширением <math>\mathbb{Z}</math> кольца целых, отсюда и обозначение <math>\mathbb{Z}[\zeta]</math>. Поскольку минимальным многочленом для ζ является m-й круговой многочлен, кольцо <math>\mathbb{Z}[\zeta]</math> является расширением степени <math>\phi(m)</math> (здесь φ обозначает функцию Эйлера).

Попытка представить кольцо Куммера на диаграмме Арганда может дать нечто подобное гигантской карте эпохи возрождения с розами ветров и локсодромами.

Множество единиц кольца Куммера содержит <math> \{1, \zeta, \zeta^2, \ldots ,\zeta^{m-1}\} </math>. По теореме Дирихле о единицах существуют единицы бесконечного порядка, За исключением случаев m=1 и m=2 (в этих случаях мы имеем обычное кольцо целых), а также случая m=4 (гауссовы целые числа) и случаев m=3, m=6 (целые числа Эйзенштейна).

Кольца Куммера названы в честь Эрнста Куммера, который изучал единственность разложения их элементов.

См. также

• Теория Куммера
• Круговое поле

Ссылки

• Allan Clark Elements of Abstract Algebra (1984 Courier Dover) p. 149