Русская Википедия:Кольцо когомологий

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В алгебраической топологии, кольцо когомологий топологического пространства X — это N-градуированное кольцо, составленное из групп когомологий пространства с <math>\smile</math>-произведением (произведением Колмогорова — Александера) в качестве умножения в кольце:

<math>H^\bullet(X;R) = \bigoplus_{k\in\mathbb{N}} H^k(X; R),</math>

где коэффициенты берутся в коммутативном кольце R (как правило в качестве R берут Z_n, Z, Q, R или C). Здесь под когомологиями как правило понимают сингулярные когомологии. Кольцо когомологий представляет собой важнейший топологический инвариант: непрерывное отображение топологических пространств <math>X \to Y</math> индуцирует гомоморфизм колец <math>H^\bullet(Y;R) \to H^\bullet(X;R)</math>.

Особенно важной вехой в развитии топологии по многим причинам оказался 1935 год. В сентябре 1935 года в Москве состоялась «Шаблон:Iw». Независимые друг от друга доклады Дж. Александера, И. И. Гордона и А. Н. Колмогорова, прочитанные на этой конференции, положили начало теории когомологий. Конструкция умножения когомологий И. И. Гордона отличалась от конструкций Дж. Александера и А. Н. Колмогорова, которые были идентичны. Несколько позднее изоморфизм колец Гордона и Александера-Колмогорова был доказан Г. Фройденталем.

Примеры

• <math>\operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^n; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha]/(\alpha^{n+1})</math>, где <math>|\alpha|=1</math>.
• <math>\operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^\infty; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha]</math>, где <math>|\alpha|=1</math>.
• <math>\operatorname{H}^*(\mathbb{C}P^n; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})</math>, где <math>|\alpha|=2</math>.
• <math>\operatorname{H}^*(\mathbb{C}P^\infty; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]</math>, где <math>|\alpha|=2</math>.
• <math>\operatorname{H}^*(\mathbb{H}P^n; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})</math>, где <math>|\alpha|=4</math>.
• <math>\operatorname{H}^*(\mathbb{H}P^\infty; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]</math>, где <math>|\alpha|=4</math>.

Литература

• Gordon I. I. On intersection invariants of a complex and its complementary space. Ann. of Math. 37:3 (1936). 519―525.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Письма Л.С.Понтрягина И.И.Гордону